Chapitre 13 • Oscillations et Ondes
v R =
v 2
0 − g 2 /2
Pour g <
√
2v 0 , la fonction d(v) est alors extrémale (on vérifie qu’il s’agit d’un
minimum). L’amplitude A(t) présente un maximum d’autant plus prononcé que g est
faible. On dit qu’il y a résonance. À la limite où g → 0 (plus d’amortissement),
l’amplitude devient infinie pour v = v R : en pratique, l’oscillateur est détruit. Cela se
comprend du fait que l’énergie apportée par la force extérieure ne sert plus à compenser
les pertes dues à l’amortissement. Elle est intégralement transférée à l’oscillateur qui
l’emmagasine sous forme d’oscillations d’amplitudes de plus en plus élevées.
La figure 13.7 présente les graphes de | a| /A F et c = arc tan
−vg/|v
2
0 − v
2 |
en
fonction de v.
ω
ω
γ
γ
γ
γ
γ
ψ
ω
ω
γ
γ
γ
γ
γ
a)
b)
Figure 13.7 Propriétés des oscillations entretenues par une force harmonique
Module (à gauche) et phase (à droite) de l’amplitude complexe solution particulière de
l’équation de l’oscillateur harmonique amorti en fonction de la pulsation v de la force
harmonique appliquée. v 0 est la pulsation de l’oscillateur en l’absence d’amortissement.
c) Solution générale de l’oscillateur harmonique amorti et forcé
La solution générale est obtenue en sommant la solution particulière et la solution
générale de l’équation sans second membre déterminée au § 13.4 :
A(t) =
aexp(ivt) + exp(−gt/2)
A 1 exp(Qt) + A 2 exp(−Qt)
.
Si g = 0, c’est-à-dire s’il y a amortissement, alors le second terme devient négligeable
au bout d’un certain temps, devant le premier (du fait du terme exp(−gt/2). Lorsque la
force harmonique est appliquée à l’oscillateur, il s’établit d’abord un régime transitoire
durant lequel les deux termes contribuent à l’amplitude de l’oscillation. Puis, lorsque
le second terme de l’amplitude devient négligeable, une oscillation forcée s’installe à
la fréquence v et perdure tant que la force est appliquée. Elle correspond au régime
permanent (Fig. 13.8).
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 282 — #292
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v R =
v 2
0 − g 2 /2
Pour g <
√
2v 0 , la fonction d(v) est alors extrémale (on vérifie qu’il s’agit d’un
minimum). L’amplitude A(t) présente un maximum d’autant plus prononcé que g est
faible. On dit qu’il y a résonance. À la limite où g → 0 (plus d’amortissement),
l’amplitude devient infinie pour v = v R : en pratique, l’oscillateur est détruit. Cela se
comprend du fait que l’énergie apportée par la force extérieure ne sert plus à compenser
les pertes dues à l’amortissement. Elle est intégralement transférée à l’oscillateur qui
l’emmagasine sous forme d’oscillations d’amplitudes de plus en plus élevées.
La figure 13.7 présente les graphes de | a| /A F et c = arc tan
−vg/|v
2
0 − v
2 |
en
fonction de v.
ω
ω
γ
γ
γ
γ
γ
ψ
ω
ω
γ
γ
γ
γ
γ
a)
b)
Figure 13.7 Propriétés des oscillations entretenues par une force harmonique
Module (à gauche) et phase (à droite) de l’amplitude complexe solution particulière de
l’équation de l’oscillateur harmonique amorti en fonction de la pulsation v de la force
harmonique appliquée. v 0 est la pulsation de l’oscillateur en l’absence d’amortissement.
c) Solution générale de l’oscillateur harmonique amorti et forcé
La solution générale est obtenue en sommant la solution particulière et la solution
générale de l’équation sans second membre déterminée au § 13.4 :
A(t) =
aexp(ivt) + exp(−gt/2)
A 1 exp(Qt) + A 2 exp(−Qt)
.
Si g = 0, c’est-à-dire s’il y a amortissement, alors le second terme devient négligeable
au bout d’un certain temps, devant le premier (du fait du terme exp(−gt/2). Lorsque la
force harmonique est appliquée à l’oscillateur, il s’établit d’abord un régime transitoire
durant lequel les deux termes contribuent à l’amplitude de l’oscillation. Puis, lorsque
le second terme de l’amplitude devient négligeable, une oscillation forcée s’installe à
la fréquence v et perdure tant que la force est appliquée. Elle correspond au régime
permanent (Fig. 13.8).
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