13.5. Oscillations entretenues
où A F est l’amplitude maximale de la force harmonique et v sa pulsation.
13.5.2 Solution de l’équation de l’oscillateur entretenu
a) Solution particulière
La solution de cette équation du second degré avec second membre est la somme d’une
solution particulière de l’équation avec second membre et de la solution générale de
la même équation sans second membre. Dans le cas d’une force harmonique, il est
relativement aisé de trouver une solution particulière
Comme au
§ 13.4
. On considère le complexe
A
dont la partie réelle est A. On cherche la solution particulière de l’équation complexe
d
2
A/dt
2 + gd
A/dt + v
2
0
A = A F exp(ivt) sous la forme
A(t) =
aexp(ivt), c’est-à-dire
que l’on cherche une solution oscillant à la pulsation de la force harmonique, non pas à
celle de l’oscillateur libre et non amorti. On remplace
A(t) et ses dérivées première et
seconde par rapport au temps dans l’équation précédente pour obtenir la solution :
a =
A F
v 2
0 − v 2 + ivg
En multipliant dénominateur et numérateur par le complexe conjugué du dénominateur on obtient :
a =
A F
v
2
0 − v
2 − ivg
v 2
0 − v 2
2 + v 2 g 2
= x + i y.
a est donc un nombre complexe que l’on peut aussi écrire sous la forme
a =
| a| (cos c + i sin c), avec | a| =
x 2 + y 2 le module de
a et c la phase telle que
tan c = y/x. Par identification, on trouve :
| a| =
A F
(v 2
0 − v 2 ) 2 + v 2 g 2
et tan c =
−vg
v 2
0 − v 2 .
On peut donc écrire la solution particulière réelle sous la forme :
A(t) = Re
A(t)
=
A F
v 2
0 − v 2
2 + v 2 g 2
cos(vt + c)
(13.9)
b) Propriétés de la solution particulière — Résonance
On voit d’après l’équation 13.9 qu’on a bien une solution oscillante de pulsation égale
à la pulsation de la force harmonique mais déphasée d’une quantité c par rapport à
cette dernière. Il est donc possible d’entretenir les oscillations. L’étude du dénominateur
de l’équation 13.9 permet de décrire leur amplitude en fonction de la valeur de v.
Quand v → 0, A(t) → A F /v
2
0 . Quand v → ∞, A(t) → 0. Quand v → v 0 , A(t) →
A F /v 0 g. Soit d(v) = (v
2
0 − v
2 )
2 + v
2 g
2 la fonction apparaissant au dénominateur
de l’équation 13.9. Sa dérivée vaut d
′ (v) = −4v
v
2
0 − v
2
+ 2vg
2 . Celle-ci s’annule
pour :
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
281
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 281 — #291
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où A F est l’amplitude maximale de la force harmonique et v sa pulsation.
13.5.2 Solution de l’équation de l’oscillateur entretenu
a) Solution particulière
La solution de cette équation du second degré avec second membre est la somme d’une
solution particulière de l’équation avec second membre et de la solution générale de
la même équation sans second membre. Dans le cas d’une force harmonique, il est
relativement aisé de trouver une solution particulière
Comme au
§ 13.4
. On considère le complexe
A
dont la partie réelle est A. On cherche la solution particulière de l’équation complexe
d
2
A/dt
2 + gd
A/dt + v
2
0
A = A F exp(ivt) sous la forme
A(t) =
aexp(ivt), c’est-à-dire
que l’on cherche une solution oscillant à la pulsation de la force harmonique, non pas à
celle de l’oscillateur libre et non amorti. On remplace
A(t) et ses dérivées première et
seconde par rapport au temps dans l’équation précédente pour obtenir la solution :
a =
A F
v 2
0 − v 2 + ivg
En multipliant dénominateur et numérateur par le complexe conjugué du dénominateur on obtient :
a =
A F
v
2
0 − v
2 − ivg
v 2
0 − v 2
2 + v 2 g 2
= x + i y.
a est donc un nombre complexe que l’on peut aussi écrire sous la forme
a =
| a| (cos c + i sin c), avec | a| =
x 2 + y 2 le module de
a et c la phase telle que
tan c = y/x. Par identification, on trouve :
| a| =
A F
(v 2
0 − v 2 ) 2 + v 2 g 2
et tan c =
−vg
v 2
0 − v 2 .
On peut donc écrire la solution particulière réelle sous la forme :
A(t) = Re
A(t)
=
A F
v 2
0 − v 2
2 + v 2 g 2
cos(vt + c)
(13.9)
b) Propriétés de la solution particulière — Résonance
On voit d’après l’équation 13.9 qu’on a bien une solution oscillante de pulsation égale
à la pulsation de la force harmonique mais déphasée d’une quantité c par rapport à
cette dernière. Il est donc possible d’entretenir les oscillations. L’étude du dénominateur
de l’équation 13.9 permet de décrire leur amplitude en fonction de la valeur de v.
Quand v → 0, A(t) → A F /v
2
0 . Quand v → ∞, A(t) → 0. Quand v → v 0 , A(t) →
A F /v 0 g. Soit d(v) = (v
2
0 − v
2 )
2 + v
2 g
2 la fonction apparaissant au dénominateur
de l’équation 13.9. Sa dérivée vaut d
′ (v) = −4v
v
2
0 − v
2
+ 2vg
2 . Celle-ci s’annule
pour :
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