13.4. Oscillateur harmonique amorti
dA
dt
= exp(−gt/2)
bv 1 −
ag
2
cos(v 1 t) −
av 1 +
bg
2
sin(v 1 t)
Avec comme conditions initiales A(0) = A 0 et dA/dt(0) = ˙
A 0 , il vient a = A 0 et
b =
˙
A 0 + gA 0 /2
/v 1 , soit
A(t) = exp(−gt/2)
A 0 cos (v 1 t) +
˙
A 0 + gA 0 /2
sin(v 1 t)
v 1
(13.8)
On trouve donc que l’oscillateur oscille avec une nouvelle pulsation v 1 qui dépend
de v 0 et de l’amortissement g. Cette oscillation a une amplitude décroissante au cours
du temps : l’oscillation se produit entre deux enveloppes exponentielles décroissantes
comme on le voit sur la figure 13.5.
a)
b)
Figure 13.5 Solutions de l’équation de l’oscillateur harmonique amorti (régime
sous-critique)
À gauche : A(t) est représenté en trait plein, dA/ dt en pointillés. À l’instant t 0 , A est
maximum. T 1 est la période d’oscillation, qui dépend de l’amortissement g. À droite :
portrait de phase pour l’oscillateur harmonique amorti. Du fait de l’amortissement, ce
n’est plus une ellipse mais une spirale. Les flèches indiquent le sens du temps.
Remarque
Si g = 0, on retrouve le cas d’un oscillateur harmonique non amorti et v 1 = v 0 .
• Amortissement critique Q = 0
On a v 1 = 0. Pour trouver les solutions dans ce cas, on fait tendre v 1 vers 0 dans
l’équation 13.8 en prenant garde que lim
v 1 →0
sin (v 1 t)
v 1
= t. On obtient
A(t) = exp(−gt/2)
A 0 +
˙
A 0 + A 0
g
2
t
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
279
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 279 — #289
i
i
i
i