Chapitre 13 • Oscillations et Ondes
d
2 A
dt 2 + g
dA
dt
+ v
2
0 A = 0
oscillateur amorti
(13.5)
Le terme au centre du membre de gauche est appelé terme d’amortissement. Le paramètre g est une constante décrivant l’amortissement. Par exemple, pour des frottements,
on a la force F = – fv où v est la vitesse du mouvement et f l’intensité des frottements.
b) Solutions de l’équation de l’oscillateur harmonique amorti
On cherche les solutions à l’équation
d
2
A
dt 2 + g
d
A
dt
+ v
2
0
A = 0 sous la forme d’exponentielles complexes :
A(t) =
Aexp(−r t) où
A et r sont des constantes complexes. On
a d
A/dt = −r
Aexp(−r t) et d
2
A/dt
2 = r
2
Aexp(−r t). En remplaçant dans l’équation
complexe, on obtient l’équation caractéristique :
r
2 − gr + v
2
0 = 0
(13.6)
Cette équation du second degré possède les deux solutions r 1 et r 2 suivantes :
r 1,2 =
g ±
g 2 − 4v 2
0
2
=
g
2
± Q,
avec Q =
g 2 /4 − v 2
0 .
Les solutions de l’équation de l’oscillateur harmonique amorti sont donc :
A(t) = exp(−gt/2)
A 1 exp(Qt) + A 2 exp(−Qt)
(13.7)
et, pour la dérivée de
A par rapport au temps :
d
A
dt
(t) = exp(−gt/2)
A 1
−
g
2
+ Q
exp(Qt) + A 2
−
g
2
− Q
exp(−Qt)
où, comme précédemment, A 1 et A 2 sont deux constantes complexes.
c) Propriétés des solutions de l’oscillateur harmonique amorti
On distingue trois cas : amortissement sous-critique, critique et sur-critique.
• Amortissement sous-critique Q < 0
Q est complexe, et peut s’écrire Q = iv 1 , avec :
v
2
1 = v
2
0 − g
2 /4.
En notations réelles ( A(t) = Re(
A(t)), où Re(z) est la partie réelle de z), on a :
A(t) = exp(−gt/2) [a cos(v 1 t) + b sin(v 1 t)]
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 278 — #288
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