13.4. Oscillateur harmonique amorti
ω
Figure 13.3 Solutions de l’équation de l’oscillateur
harmonique
A(t) est représenté en trait plein, dA/ dt en pointillés. À l’instant t 0 , A est maximum, et dA/ dt est nul.
Exercice d’application 13.2 – Portrait de phase
Montrer que A et dA/ dt vérifient l’équation A
2 (t) +
1
v 2
0
dA
dt
2
= C
2 où C est
une constante valant C =
A 2
0 + ˙
A 2
0 /v 2
0 . Quelle est l’allure de la courbe obtenue
dans l’espace (A, dA/ dt) ?
SOLUTION. On utilise les expressions de A et dA/ dt et on développe les carrés,
puis on simplifie pour obtenir le résultat. On reconnaît l’équation d’une ellipse
dans le plan (A, dA/dt), appelée portrait de phase (Fig. 13.4).
ω
ω
Figure 13.4 Portrait de phase de l’oscillateur
harmonique
dA/ dt est représenté en fonction de A(t). À t = 0,
A(0) = A 0 et dA/dt(0) = ˙
A 0 . Lorsque t augmente, A(t)
augmente vers sa valeur maximale C et dA/ dt diminue vers 0. Les flèches indiquent le sens d’écoulement
du temps.
13.4 OSCILLATEUR HARMONIQUE AMORTI
a) Amortissement visqueux
En réalité, les oscillations ne durent pas indéfiniment. Elles sont amorties soit du fait
de frottements, soit par rayonnement. Nous traitons ici le cas d’un amortissement
visqueux (dont les forces de frottements mécaniques sont un exemple). Dans ce cas, la
force responsable de l’amortissement est une fonction linéaire de dA/dT (dA/dT est la
vitesse du mouvement dans le cas d’un oscillateur mécanique). Son sens est opposé
au sens du mouvement. On peut écrire, dans le cas d’un mouvement unidimensionnel
F a = −gdA/dt, et l’équation 13.3 devient :
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
277
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 277 — #287
i
i
i
i