Chapitre 13 • Oscillations et Ondes
du ressort ou du pendule (dans le cas des petits angles). Si A(t) est la valeur à l’instant t
de la grandeur oscillant, et si la force appliquée intervenant dans l’équation 13.2 est de
la forme F(A) = – v 0
2 A, alors le mouvement est régi par l’équation suivante :
d
2 A(t)
dt 2 + v
2
0 A(t) = 0 Oscillateur harmonique
(13.3)
C’est là l’équation d’un oscillateur harmonique. Ses solutions sont de la forme
donnée par l’équation 13.1, c’est-à-dire sinusoïdales, d’où le terme « harmonique ».
b) Solutions générales
Pour résoudre l’équation 13.3, nous utilisons la représentation complexe. On remplace
pour cela la grandeur réelle A par une fonction complexe
A et on cherche à résoudre
l’équation d
2
A/dt
2 + v
2
0
A = 0. La solution générale s’écrit alors :
A(t) = A 1 exp(iv 0 t) + A 2 exp(−iv 0 t)
(13.4)
où A 1 et A 2 sont deux constantes complexes que l’on peut fixer à partir des conditions
initiales. La dérivée de l’équation 13.4 donne :
d
A
dt
= iv 0 A 1 exp(iv 0 t) − iv 0 A 2 exp(−iv 0 t).
Avec les conditions initiales A(0) = A 0 et dA/dt(0) = ˙
A 0 , on trouve en repassant
aux notations réelles :
A(t) = A 0 cos(v 0 t) +
˙
A 0
v 0
sin(v 0 t)
dA
dt
(t) = ˙
A 0 cos(v 0 t) − v 0 A 0 sin(v 0 t)
c) Propriétés des solutions générales
On peut écrire, de façon équivalente, la solution pour A(t) sous la forme A(t) =
C cos(v 0 t + w), où C et w sont des constantes. En développant le cosinus et en identifiant à l’expression précédente de A(t), on trouve C =
A 2
0 + ˙
A 2
0 /v 2
0 et tan w =
−
˙
A 0
A 0 v 0
. A(t) est maximum et vaut C lorsque t = t 0 = – w/v 0 . Au même instant t 0 , on a
dA/ dt (t 0 ) = 0. Inversement, quand dA/ dt atteint sa valeur maximale v 0 C, A(t) vaut zéro.
A et dA/dt sont donc deux sinusoïdes évoluant en opposition de phase. La figure 13.3
représente les variations de A et dA/ dt en fonction du temps.
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 276 — #286
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du ressort ou du pendule (dans le cas des petits angles). Si A(t) est la valeur à l’instant t
de la grandeur oscillant, et si la force appliquée intervenant dans l’équation 13.2 est de
la forme F(A) = – v 0
2 A, alors le mouvement est régi par l’équation suivante :
d
2 A(t)
dt 2 + v
2
0 A(t) = 0 Oscillateur harmonique
(13.3)
C’est là l’équation d’un oscillateur harmonique. Ses solutions sont de la forme
donnée par l’équation 13.1, c’est-à-dire sinusoïdales, d’où le terme « harmonique ».
b) Solutions générales
Pour résoudre l’équation 13.3, nous utilisons la représentation complexe. On remplace
pour cela la grandeur réelle A par une fonction complexe
A et on cherche à résoudre
l’équation d
2
A/dt
2 + v
2
0
A = 0. La solution générale s’écrit alors :
A(t) = A 1 exp(iv 0 t) + A 2 exp(−iv 0 t)
(13.4)
où A 1 et A 2 sont deux constantes complexes que l’on peut fixer à partir des conditions
initiales. La dérivée de l’équation 13.4 donne :
d
A
dt
= iv 0 A 1 exp(iv 0 t) − iv 0 A 2 exp(−iv 0 t).
Avec les conditions initiales A(0) = A 0 et dA/dt(0) = ˙
A 0 , on trouve en repassant
aux notations réelles :
A(t) = A 0 cos(v 0 t) +
˙
A 0
v 0
sin(v 0 t)
dA
dt
(t) = ˙
A 0 cos(v 0 t) − v 0 A 0 sin(v 0 t)
c) Propriétés des solutions générales
On peut écrire, de façon équivalente, la solution pour A(t) sous la forme A(t) =
C cos(v 0 t + w), où C et w sont des constantes. En développant le cosinus et en identifiant à l’expression précédente de A(t), on trouve C =
A 2
0 + ˙
A 2
0 /v 2
0 et tan w =
−
˙
A 0
A 0 v 0
. A(t) est maximum et vaut C lorsque t = t 0 = – w/v 0 . Au même instant t 0 , on a
dA/ dt (t 0 ) = 0. Inversement, quand dA/ dt atteint sa valeur maximale v 0 C, A(t) vaut zéro.
A et dA/dt sont donc deux sinusoïdes évoluant en opposition de phase. La figure 13.3
représente les variations de A et dA/ dt en fonction du temps.
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