13.3. Oscillateur harmonique
La quantité
m/k définit un temps caractéristique d’évolution de l’oscillateur. On
pose v 0 =
k/m, quantité jouant le rôle d’une pulsation (exprimée en rad · s
–1 ). Cette
pulsation ne dépend pas du temps ou de l’amplitude des oscillations.
b) Pendule pesant
Un pendule pesant constitué d’un fil de longueur l et d’une bille de masse m est écarté
d’un angle a de sa position d’équilibre stable (en pointillés sur la figure 13.2). Le
pendule est soumis à son poids
#–
P et à la tension du fil
#–
T .
α
α
α
Figure 13.2 Pendule
Le pendule est écarté de sa position d’équilibre stable (en
pointillés) d’une quantité a. Le pendule est soumis à son
poids
#–
P et à la tension du fil
#–
T . L’angle a(t) est compté
positivement dans le sens trigonométrique (sens inverse
des aiguilles d’une montre).
Projetée, à l’instant t, sur un axe perpendiculaire à la position du fil et orienté positivement vers la droite, l’équation 13.2 donne l’évolution temporelle de l’angle a :
d
2 a
dt 2 +
g
l
sin a = 0.
On a, comme précédemment, une équation différentielle du second degré, qui n’est
pas cette fois linéaire en a. Cependant, dans le cas de petites oscillations autour de
la position d’équilibre, on peut « linéariser » l’équation en approximant le sinus de
l’angle par l’angle lui-même. Dans ces conditions, l’équation du mouvement du pendule
devient :
d
2 a
dt 2 +
g
l
a ≈ 0
Il s’agit formellement de la même équation que dans le cas du ressort. On vérifie que
la quantité v 0 =
g/l est bien homogène à l’inverse d’un temps. Elle représente la
pulsation d’oscillation du pendule.
Remarque
Noter que la pulsation (et donc la fréquence) d’oscillation du pendule ne dépend pas
de sa masse m !
13.3.2 Généralisation
a) Équation de l’oscillateur harmonique
De nombreux systèmes physiques, lorsqu’on les écarte d’une petite quantité de leur
position d’équilibre (stable), ont un mouvement gouverné par une équation comme celle
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
275
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 275 — #285
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m/k définit un temps caractéristique d’évolution de l’oscillateur. On
pose v 0 =
k/m, quantité jouant le rôle d’une pulsation (exprimée en rad · s
–1 ). Cette
pulsation ne dépend pas du temps ou de l’amplitude des oscillations.
b) Pendule pesant
Un pendule pesant constitué d’un fil de longueur l et d’une bille de masse m est écarté
d’un angle a de sa position d’équilibre stable (en pointillés sur la figure 13.2). Le
pendule est soumis à son poids
#–
P et à la tension du fil
#–
T .
α
α
α
Figure 13.2 Pendule
Le pendule est écarté de sa position d’équilibre stable (en
pointillés) d’une quantité a. Le pendule est soumis à son
poids
#–
P et à la tension du fil
#–
T . L’angle a(t) est compté
positivement dans le sens trigonométrique (sens inverse
des aiguilles d’une montre).
Projetée, à l’instant t, sur un axe perpendiculaire à la position du fil et orienté positivement vers la droite, l’équation 13.2 donne l’évolution temporelle de l’angle a :
d
2 a
dt 2 +
g
l
sin a = 0.
On a, comme précédemment, une équation différentielle du second degré, qui n’est
pas cette fois linéaire en a. Cependant, dans le cas de petites oscillations autour de
la position d’équilibre, on peut « linéariser » l’équation en approximant le sinus de
l’angle par l’angle lui-même. Dans ces conditions, l’équation du mouvement du pendule
devient :
d
2 a
dt 2 +
g
l
a ≈ 0
Il s’agit formellement de la même équation que dans le cas du ressort. On vérifie que
la quantité v 0 =
g/l est bien homogène à l’inverse d’un temps. Elle représente la
pulsation d’oscillation du pendule.
Remarque
Noter que la pulsation (et donc la fréquence) d’oscillation du pendule ne dépend pas
de sa masse m !
13.3.2 Généralisation
a) Équation de l’oscillateur harmonique
De nombreux systèmes physiques, lorsqu’on les écarte d’une petite quantité de leur
position d’équilibre (stable), ont un mouvement gouverné par une équation comme celle
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