12.2. Approximations de gauss
intuition : l’image est située derrière le plan du miroir, et l’on sait bien que derrière
le miroir se trouve le mur sur lequel il est posé. Il n’y a pas réellement rencontre de
rayons à cet endroit.
Théorème fondamental : Stigmatisme approché
Il y a stigmatisme et aplanétisme quelle que soit la distance de l’objet pour les
miroirs sphériques, les dioptres plans et les dioptres sphériques dans le cas où les
rayons sont proches de l’axe et peu inclinés sur l’axe, c’est-à-dire lorsque les angles
d’incidence et de réfraction sont tous assez petits pour qu’on ait le droit de les
confondre avec leur sinus ou tangente. On dit qu’il y a stigmatisme approché pour
ces systèmes.
Remarque
Les approximations permettant d’avoir stigmatisme et aplanétisme approchés sont
appelées conditions de Gauss.
DÉMONSTRATION : CAS DU DIOPTRE PLAN
Soit un dioptre plan séparant deux milieux d’indice n et n’ (Fig. 12.4). On a tan i =
S I
S P
et
tan i
′ =
S I
S P ′ . D’après la loi de la réfraction, on a de plus n sin i = n’ sin i’. En éliminant
i et i’, on a pour la position de P’ : S P ′ = f (S P, n, n
′ , S I ). Cette fois-ci, la position de
P’ dépend explicitement du point d’incidence I à travers la relation des sinus. Il n’y a pas
stigmatisme rigoureux pour le dioptre plan.
Figure 12.4 Stigmatisme du dioptre plan
Dans les conditions de Gauss (petits angles), on confond les sinus et tangentes avec leur
argument et l’on obtient : S I = S P × i et S I = S P ′ × i
′ . De plus, ni = ni’. On en déduit
la relation suivante :
n
S P
−
n
′
S P ′ = 0.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
249
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 249 — #259
i
i
i
i
intuition : l’image est située derrière le plan du miroir, et l’on sait bien que derrière
le miroir se trouve le mur sur lequel il est posé. Il n’y a pas réellement rencontre de
rayons à cet endroit.
Théorème fondamental : Stigmatisme approché
Il y a stigmatisme et aplanétisme quelle que soit la distance de l’objet pour les
miroirs sphériques, les dioptres plans et les dioptres sphériques dans le cas où les
rayons sont proches de l’axe et peu inclinés sur l’axe, c’est-à-dire lorsque les angles
d’incidence et de réfraction sont tous assez petits pour qu’on ait le droit de les
confondre avec leur sinus ou tangente. On dit qu’il y a stigmatisme approché pour
ces systèmes.
Remarque
Les approximations permettant d’avoir stigmatisme et aplanétisme approchés sont
appelées conditions de Gauss.
DÉMONSTRATION : CAS DU DIOPTRE PLAN
Soit un dioptre plan séparant deux milieux d’indice n et n’ (Fig. 12.4). On a tan i =
S I
S P
et
tan i
′ =
S I
S P ′ . D’après la loi de la réfraction, on a de plus n sin i = n’ sin i’. En éliminant
i et i’, on a pour la position de P’ : S P ′ = f (S P, n, n
′ , S I ). Cette fois-ci, la position de
P’ dépend explicitement du point d’incidence I à travers la relation des sinus. Il n’y a pas
stigmatisme rigoureux pour le dioptre plan.
Figure 12.4 Stigmatisme du dioptre plan
Dans les conditions de Gauss (petits angles), on confond les sinus et tangentes avec leur
argument et l’on obtient : S I = S P × i et S I = S P ′ × i
′ . De plus, ni = ni’. On en déduit
la relation suivante :
n
S P
−
n
′
S P ′ = 0.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
249
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 249 — #259
i
i
i
i