Chapitre 11 • Nature et propagation de la lumière
DÉMONSTRATION
La symétrie des formules du prisme montre que D prend la même valeur pour deux valeurs
i et i’ de l’angle d’incidence. En effet, le principe du retour inverse de la lumière impose
que si l’angle d’incidence est i’, alors le rayon sortant fait un angle i avec la normale à la
face de sortie. Ainsi, si on trace la courbe D = f (i), toute parallèle à l’axe des abscisses
coupe la courbe deux fois. Il en résulte que cette courbe présente un extremum. Montrons
qu’il s’agit d’un minimum. En additionnant les deux premières formules du prisme, on a :
sin i + sin i
′ = n(sin r + sin r
′ ) ⇔ sin
i + i
′
2
cos
i − i
′
2
=
n sin
r + r
′
2
cos
r − r
′
2
Or (i + i’)/2 = (A + D)/2 et (r + r’)/2 = A/2 d’où :
sin
A + D
2
n sin
A
2
=
cos
r − r
′
2
cos
i − i
′
2
1.
La dernière inégalité résulte de ce qu’on a i’ – r’ > i– r. On voit que le membre de gauche
devient égal à 1 pour i = i’ et r = r’. On a donc bien un minimum de la déviation. Au
minimum de déviation, on obtient :
n = sin
A + D
2
/ sin
A
2
.
Remarque
Une étude de la fonction dD/di permet d’obtenir les mêmes conclusions.
Expérimentalement, il est aisé d’identifier le minimum de déviation : en faisant varier
l’angle d’incidence, le faisceau émergent se rapproche puis s’éloigne de la direction
d’incidence. Connaissant l’angle au sommet A (ou en le mesurant), la mesure de D
permet de déterminer l’indice n sans avoir à mesurer l’angle d’incidence du rayon
entrant dans le prisme.
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 242 — #252
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