Chapitre 6 • Frottement visqueux
Remarque
Dans le cas de l’écoulement de Couette stationnaire entre deux plans (Fig. 6.1, droite),
l’intégration de cette équation munie des deux conditions d’adhérence restitue bien
le profil de vitesse affine.
6.2 ÉCOULEMENT EN CONDUIT RECTILIGNE
6.2.1 Écoulement de Poiseuille plan
Un fluide incompressible, visqueux et pesant s’écoule en régime permanent entre deux
plans parallèles, horizontaux, distants de 2h et fixes. Le conduit est suffisamment long
pour que les « effets de bouts » puissent être négligés et que l’écoulement soit unidirectionnel : #– v = u #– e x .
La conservation de la masse (5.12) permet d’établir que u est indépendant de x :
u = u(y).
D’autre part, le bilan de quantité de mouvement
Voir § 6.1.2
doit être complété de façon à tenir
compte de la pression et de la pesanteur :
0 = −
∂ p
∂x
+ m
∂
2 u
∂ y 2 , 0 = −rg −
∂ p
∂ y
.
(6.1)
x
x
y
y
u
τ
p g
τ p
−τ p
h
−h
Une première forme de la pression est obtenue par intégration de l’équation 6.1, soit : p =
p 1 (x) − rgy où p 1 est une constante d’intégration. En reportant cette fonction dans l’équation 6.1 1 où u ne dépend pas de x, on constate
que d p 1 /dx est nécessairement une constante
notée −K . Par suite, p 1 = p 0 − K x où p 0
s’interprète comme la pression à l’origine du
système d’axes. La constante K > 0 représente
donc l’opposé du gradient de pression.
Il reste à intégrer l’équation d
2 u/dy
2 = −K /m. Compte tenu des deux conditions
d’adhérences : u(−h) = u(h) = 0, on obtient :
u(y) =
K h
2
2m
1 −
y
2
h 2
.
Le profil de vitesse est parabolique, maximal au centre du canal et s’annule aux
parois. On en déduit la contrainte t(y) exercée par une couche de fluide sur sa voisine
du dessous :
t(y) = m
du
dy
= −K y ⇒ t(h) = t p = −K h.
6.2.2 Perte de charge – Nombre de Reynolds
On nomme perte de charge la chute de pression réduite observée sur une longueur L de
conduit et mesurée comme une hauteur de fluide : DH = D p g /(rg). Elle est présentée
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 136 — #146
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Remarque
Dans le cas de l’écoulement de Couette stationnaire entre deux plans (Fig. 6.1, droite),
l’intégration de cette équation munie des deux conditions d’adhérence restitue bien
le profil de vitesse affine.
6.2 ÉCOULEMENT EN CONDUIT RECTILIGNE
6.2.1 Écoulement de Poiseuille plan
Un fluide incompressible, visqueux et pesant s’écoule en régime permanent entre deux
plans parallèles, horizontaux, distants de 2h et fixes. Le conduit est suffisamment long
pour que les « effets de bouts » puissent être négligés et que l’écoulement soit unidirectionnel : #– v = u #– e x .
La conservation de la masse (5.12) permet d’établir que u est indépendant de x :
u = u(y).
D’autre part, le bilan de quantité de mouvement
Voir § 6.1.2
doit être complété de façon à tenir
compte de la pression et de la pesanteur :
0 = −
∂ p
∂x
+ m
∂
2 u
∂ y 2 , 0 = −rg −
∂ p
∂ y
.
(6.1)
x
x
y
y
u
τ
p g
τ p
−τ p
h
−h
Une première forme de la pression est obtenue par intégration de l’équation 6.1, soit : p =
p 1 (x) − rgy où p 1 est une constante d’intégration. En reportant cette fonction dans l’équation 6.1 1 où u ne dépend pas de x, on constate
que d p 1 /dx est nécessairement une constante
notée −K . Par suite, p 1 = p 0 − K x où p 0
s’interprète comme la pression à l’origine du
système d’axes. La constante K > 0 représente
donc l’opposé du gradient de pression.
Il reste à intégrer l’équation d
2 u/dy
2 = −K /m. Compte tenu des deux conditions
d’adhérences : u(−h) = u(h) = 0, on obtient :
u(y) =
K h
2
2m
1 −
y
2
h 2
.
Le profil de vitesse est parabolique, maximal au centre du canal et s’annule aux
parois. On en déduit la contrainte t(y) exercée par une couche de fluide sur sa voisine
du dessous :
t(y) = m
du
dy
= −K y ⇒ t(h) = t p = −K h.
6.2.2 Perte de charge – Nombre de Reynolds
On nomme perte de charge la chute de pression réduite observée sur une longueur L de
conduit et mesurée comme une hauteur de fluide : DH = D p g /(rg). Elle est présentée
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