6.1. Écoulements laminaires
Tableau 6.1 Paramètres physiques
Fluide
Masse volumique r [kg · m
−3 ]
Viscosité dynamique m [Pl]
Eau
10
3
10
−3
Air (1 atm et 300 K)
1,29
1,8•10
−5
Métaux liquides
2 · 10
3 ∼ 2 · 10
4
10
−4 ∼ 10
−3
Huiles de silicone
∼ 10
3
10
−2 ∼ 10
3
6.1.2 Équation de diffusion unidimensionnelle
y
y + dy
dx
u(y, t)
τ
τ + dτ
Considérons l’écoulement plan, instationnaire, unidirectionnel d’un fluide incompressible et visqueux ; soit
#– v = u(y, t) #– e x son champ de vitesse et admettons que
le champ de pression soit uniforme.
Écrivons le principe fondamental pour le parallélépipède
rectangle dx × dy. Dans la direction #– e x , l’accélération
convective
#–
∇ #– v · #– v est nulle et il faut tenir compte des
forces de frottement lors de l’écriture de la loi de Newton :
r(∂u/∂t)dxdy = −t(y)dx + t(y + dy)dx,
ce qui donne après un développement limité : r∂u/∂t = ∂t/∂ y.
En généralisant le résultat observé pour l’écoulement cisaillé, ce qui revient à linéariser localement le profil de vitesse (autrement dit, à l’assimiler à sa tangente locale),
nous sommes conduits à la :
Loi de comportement des fluides newtoniens
t = m∂u/∂ y
Le bilan de quantité de mouvement prend donc la forme suivante :
Équation de diffusion unidimensionnelle
∂u
∂t
= n
∂
2 u
∂ y 2
Cette équation est également connue sous le nom d’équation de la chaleur 1D.
Mathématiquement, elle se différencie de l’équation d’Euler par le fait qu’elle est
du second ordre et requiert donc des conditions aux frontières en nombre plus élevé.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
135
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 135 — #145
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Masse volumique r [kg · m
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Viscosité dynamique m [Pl]
Eau
10
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−3
Air (1 atm et 300 K)
1,29
1,8•10
−5
Métaux liquides
2 · 10
3 ∼ 2 · 10
4
10
−4 ∼ 10
−3
Huiles de silicone
∼ 10
3
10
−2 ∼ 10
3
6.1.2 Équation de diffusion unidimensionnelle
y
y + dy
dx
u(y, t)
τ
τ + dτ
Considérons l’écoulement plan, instationnaire, unidirectionnel d’un fluide incompressible et visqueux ; soit
#– v = u(y, t) #– e x son champ de vitesse et admettons que
le champ de pression soit uniforme.
Écrivons le principe fondamental pour le parallélépipède
rectangle dx × dy. Dans la direction #– e x , l’accélération
convective
#–
∇ #– v · #– v est nulle et il faut tenir compte des
forces de frottement lors de l’écriture de la loi de Newton :
r(∂u/∂t)dxdy = −t(y)dx + t(y + dy)dx,
ce qui donne après un développement limité : r∂u/∂t = ∂t/∂ y.
En généralisant le résultat observé pour l’écoulement cisaillé, ce qui revient à linéariser localement le profil de vitesse (autrement dit, à l’assimiler à sa tangente locale),
nous sommes conduits à la :
Loi de comportement des fluides newtoniens
t = m∂u/∂ y
Le bilan de quantité de mouvement prend donc la forme suivante :
Équation de diffusion unidimensionnelle
∂u
∂t
= n
∂
2 u
∂ y 2
Cette équation est également connue sous le nom d’équation de la chaleur 1D.
Mathématiquement, elle se différencie de l’équation d’Euler par le fait qu’elle est
du second ordre et requiert donc des conditions aux frontières en nombre plus élevé.
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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