Chapitre 5 • Fluides parfaits
g
O
S
H
z c
z i
1
p a
<
ρ
1
ρ
2
ρ
2
ρ
a) Calculer la pression dans les deux liquides.
b) Calculer la résultante par intégration des forces de pression sur la paroi du cylindre.
c) Calculer cette résultante en appliquant le théorème d’Archimède et vérifier qu’on
obtient le même résultat par les deux méthodes.
5.2 Écoulement instationnaire
On considère le champ de vitesse eulérien :
#– v = u #– e x + v #– e y = (vx − at) #– e x − vy #– e y .
a) Déterminer l’équation des lignes de courant par intégration d’une forme différentielle. Quelle est la forme de ces lignes ?
b) Établir la représentation lagrangienne de ce mouvement. On désigne par x 0 et y 0 les
coordonnées du point à l’instant initial t = 0.
c) Soit e c =
1
2
r(u
2 + v
2 ) l’énergie cinétique volumique du fluide où r est sa masse
volumique, constante et positive. Déterminer la dérivée particulaire de e c .
d) Calculer l’accélération en représentation eulérienne et lagrangienne.
5.3 Retenue d’eau
Z
p a
Conduite
forcée
Réservoir
Jet
M
O
Atmosphère
Surface libre
H
A
V r
V j
H 0
g
Un réservoir de grandes dimensions, situé
en altitude, alimente une conduite forcée (installation hydroélectrique). Elle
débouche en contrebas, dans l’atmosphère,
où il se forme un jet horizontal dont
les lignes de courant sont rectilignes.
L’eau est assimilée à un fluide parfait
incompressible, de masse volumique
r = 10
3 kg · m
−3 , et l’écoulement est
permanent. On désigne par H = 100 m
le niveau de la surface libre compté par rapport à l’axe du jet, par H − H 0 = 5 m la
profondeur d’eau, par L = 10 m la largeur du réservoir et par A = pD
2 /4 = 8 cm
2
l’aire constante d’une section droite quelconque de la conduite forcée. Le réservoir
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 130 — #140
i
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H
z c
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ρ
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ρ
2
ρ
2
ρ
a) Calculer la pression dans les deux liquides.
b) Calculer la résultante par intégration des forces de pression sur la paroi du cylindre.
c) Calculer cette résultante en appliquant le théorème d’Archimède et vérifier qu’on
obtient le même résultat par les deux méthodes.
5.2 Écoulement instationnaire
On considère le champ de vitesse eulérien :
#– v = u #– e x + v #– e y = (vx − at) #– e x − vy #– e y .
a) Déterminer l’équation des lignes de courant par intégration d’une forme différentielle. Quelle est la forme de ces lignes ?
b) Établir la représentation lagrangienne de ce mouvement. On désigne par x 0 et y 0 les
coordonnées du point à l’instant initial t = 0.
c) Soit e c =
1
2
r(u
2 + v
2 ) l’énergie cinétique volumique du fluide où r est sa masse
volumique, constante et positive. Déterminer la dérivée particulaire de e c .
d) Calculer l’accélération en représentation eulérienne et lagrangienne.
5.3 Retenue d’eau
Z
p a
Conduite
forcée
Réservoir
Jet
M
O
Atmosphère
Surface libre
H
A
V r
V j
H 0
g
Un réservoir de grandes dimensions, situé
en altitude, alimente une conduite forcée (installation hydroélectrique). Elle
débouche en contrebas, dans l’atmosphère,
où il se forme un jet horizontal dont
les lignes de courant sont rectilignes.
L’eau est assimilée à un fluide parfait
incompressible, de masse volumique
r = 10
3 kg · m
−3 , et l’écoulement est
permanent. On désigne par H = 100 m
le niveau de la surface libre compté par rapport à l’axe du jet, par H − H 0 = 5 m la
profondeur d’eau, par L = 10 m la largeur du réservoir et par A = pD
2 /4 = 8 cm
2
l’aire constante d’une section droite quelconque de la conduite forcée. Le réservoir
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