5.4. Théorèmes de Bernoulli
Tableau 5.1 Théorèmes de Bernoulli
Théorème
Fluide incompressible
Gaz parfait
Domaine de
validité
Premier
p + rgZ +
1
2
r #– v
2 = cste
g
g − 1
p
r
+ rgZ +
1
2
r #– v
2 = cste
sur une ligne
de courant
Second
∂w
∂t
+
p
r
+ gZ +
1
2
r #– v
2 =
C(t)
∂w
∂t
+
g
g − 1
p
r
+
1
2
#– v
2 = C(t)
partout
– Puissance mécanique P m , développée par les forces de pression sur d’éventuelles
parois mobiles ; par exemple, les aubages (pales) d’une pompe (P m > 0 : elle apporte
de l’énergie au fluide) ou d’une turbine (P m < 0 : elle soutire de l’énergie du fluide).
– Puissance des forces de frottement P f > 0.
Théorème de l’énergie cinétique
Dans un référentiel galiléen, à tout instant t, et pour toute partie D du système,
la dérivée particulaire de l’énergie cinétique est égale à la puissance de tous les
efforts s’exerçant sur cette partie du système, tant intérieurs qu’extérieurs.
En se restreignant au cas de l’écoulement stationnaire d’un fluide barotrope dans
le champ de la pesanteur et en s’appuyant sur le théorème de l’énergie cinétique, on
démontre le
Théorème de Bernoulli généralisé
∂D
re m ( #– v · #– n ) · dA =
∂D
r
H + gZ +
1
2
#– v
2
( #– v · #– n ) · dA = P m − P f .
Remarque
la puissance des forces de frottement P f > 0 fait toujours décroître l’énergie mécanique
du fluide (d’où le signe « − »).
Turbomachine. Une turbomachine est alimentée par un conduit d’aspiration (indice
« a ») et rejette le fluide dans un conduit de refoulement (indice « r »). En désignant par
U la vitesse débitante et par S la section du conduit, la conservation de la masse s’écrit
(en régime stationnaire) : Q = r a U a S a = r r U r S r . Par suite, la puissance nette, calculée
à partir de la variation d’énergie du fluide a pour expression : P n = Q(e m|a − e m|r ).
Mais seule la fraction P m de cette puissance est transmise à l’arbre de la machine, la
différence P n − P m = P f représentant les pertes. On en tire alors une définition du
rendement global : h = P m /P n .
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
127
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 127 — #137
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Tableau 5.1 Théorèmes de Bernoulli
Théorème
Fluide incompressible
Gaz parfait
Domaine de
validité
Premier
p + rgZ +
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r #– v
2 = cste
g
g − 1
p
r
+ rgZ +
1
2
r #– v
2 = cste
sur une ligne
de courant
Second
∂w
∂t
+
p
r
+ gZ +
1
2
r #– v
2 =
C(t)
∂w
∂t
+
g
g − 1
p
r
+
1
2
#– v
2 = C(t)
partout
– Puissance mécanique P m , développée par les forces de pression sur d’éventuelles
parois mobiles ; par exemple, les aubages (pales) d’une pompe (P m > 0 : elle apporte
de l’énergie au fluide) ou d’une turbine (P m < 0 : elle soutire de l’énergie du fluide).
– Puissance des forces de frottement P f > 0.
Théorème de l’énergie cinétique
Dans un référentiel galiléen, à tout instant t, et pour toute partie D du système,
la dérivée particulaire de l’énergie cinétique est égale à la puissance de tous les
efforts s’exerçant sur cette partie du système, tant intérieurs qu’extérieurs.
En se restreignant au cas de l’écoulement stationnaire d’un fluide barotrope dans
le champ de la pesanteur et en s’appuyant sur le théorème de l’énergie cinétique, on
démontre le
Théorème de Bernoulli généralisé
∂D
re m ( #– v · #– n ) · dA =
∂D
r
H + gZ +
1
2
#– v
2
( #– v · #– n ) · dA = P m − P f .
Remarque
la puissance des forces de frottement P f > 0 fait toujours décroître l’énergie mécanique
du fluide (d’où le signe « − »).
Turbomachine. Une turbomachine est alimentée par un conduit d’aspiration (indice
« a ») et rejette le fluide dans un conduit de refoulement (indice « r »). En désignant par
U la vitesse débitante et par S la section du conduit, la conservation de la masse s’écrit
(en régime stationnaire) : Q = r a U a S a = r r U r S r . Par suite, la puissance nette, calculée
à partir de la variation d’énergie du fluide a pour expression : P n = Q(e m|a − e m|r ).
Mais seule la fraction P m de cette puissance est transmise à l’arbre de la machine, la
différence P n − P m = P f représentant les pertes. On en tire alors une définition du
rendement global : h = P m /P n .
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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