Chapitre 5 • Fluides parfaits
Énergie mécanique par unité de masse
e m = H + gZ +
1
2
#– v
2
(5.17)
où H est l’énergie de pression, gZ l’énergie potentielle de position et
1
2
#– v
2 l’énergie
cinétique. La quantité e m /g est la charge du fluide ; elle exprime l’énergie mécanique
comme une hauteur de fluide.
Premier théorème de Bernoulli
Dans un écoulement permanent de fluide parfait incompressible et pesant, l’énergie
mécanique par unité de masse e m se conserve sur chaque ligne de courant, mais
peut varier d’une ligne de courant à l’autre.
DÉMONSTRATION
D’après la conservation de la masse (5.12) 2 , nous avons div #– v = 0. En utilisant la
formulation (5.9) de l’accélération dans l’équation d’Euler (5.15) et en la multipliant
scalairement par #– v , on observe que (
# –
rot #– v ∧ #– v ) · #– v = 0 et on a donc :
#–
∇e m · #– v = 0. Alors,
une variation élémentaire de e m selon une ligne de courant s’écrit : de m =
#–
∇e m · d #– x =
#–
∇e m · ( #– v dt) = 0, ce qui établit le théorème.
Second théorème de Bernoulli
Dans un écoulement irrotationnel de fluide parfait, barotrope et pesant, la quantité
∂w/∂t + e m ne dépend que du temps.
DÉMONSTRATION
Reprenons comme point de départ les hypothèses du début et ajoutons la suivante : l’écoulement est irrotationnel (
# –
rot #– v = 0). Par suite, il existe un potentiel des vitesses w( #– x , t)
tel que #– v =
#–
∇w et en faisant encore usage de la formulation (5.9) de l’accélération,
l’équation d’Euler (5.15) s’écrit :
#–
∇
∂w
∂t
+
1
2
#– v
2 + gZ + H
= 0 ⇒
∂w
∂t
+
1
2
#– v
2 + gZ + H = C(t),
ce qui établit le théorème.
5.4.2 Forme globale — Généralisation
À condition de sortir du cadre imposé par l’hypothèse de fluide parfait, on peut incorporer à la conservation de l’énergie cinétique deux termes rendant compte — globalement — de la puissance développée à l’intérieur du système.
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 126 — #136
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Énergie mécanique par unité de masse
e m = H + gZ +
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#– v
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où H est l’énergie de pression, gZ l’énergie potentielle de position et
1
2
#– v
2 l’énergie
cinétique. La quantité e m /g est la charge du fluide ; elle exprime l’énergie mécanique
comme une hauteur de fluide.
Premier théorème de Bernoulli
Dans un écoulement permanent de fluide parfait incompressible et pesant, l’énergie
mécanique par unité de masse e m se conserve sur chaque ligne de courant, mais
peut varier d’une ligne de courant à l’autre.
DÉMONSTRATION
D’après la conservation de la masse (5.12) 2 , nous avons div #– v = 0. En utilisant la
formulation (5.9) de l’accélération dans l’équation d’Euler (5.15) et en la multipliant
scalairement par #– v , on observe que (
# –
rot #– v ∧ #– v ) · #– v = 0 et on a donc :
#–
∇e m · #– v = 0. Alors,
une variation élémentaire de e m selon une ligne de courant s’écrit : de m =
#–
∇e m · d #– x =
#–
∇e m · ( #– v dt) = 0, ce qui établit le théorème.
Second théorème de Bernoulli
Dans un écoulement irrotationnel de fluide parfait, barotrope et pesant, la quantité
∂w/∂t + e m ne dépend que du temps.
DÉMONSTRATION
Reprenons comme point de départ les hypothèses du début et ajoutons la suivante : l’écoulement est irrotationnel (
# –
rot #– v = 0). Par suite, il existe un potentiel des vitesses w( #– x , t)
tel que #– v =
#–
∇w et en faisant encore usage de la formulation (5.9) de l’accélération,
l’équation d’Euler (5.15) s’écrit :
#–
∇
∂w
∂t
+
1
2
#– v
2 + gZ + H
= 0 ⇒
∂w
∂t
+
1
2
#– v
2 + gZ + H = C(t),
ce qui établit le théorème.
5.4.2 Forme globale — Généralisation
À condition de sortir du cadre imposé par l’hypothèse de fluide parfait, on peut incorporer à la conservation de l’énergie cinétique deux termes rendant compte — globalement — de la puissance développée à l’intérieur du système.
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