5.4. Théorèmes de Bernoulli
surface de courant, surface abstraite tracée dans le fluide) :
#– v · #– n = 0 : sur une frontière et une interface imperméable et immobile.
p 1 = p 2 : de part et d’autre d’une interface imperméable et immobile.
(5.16)
Remarque
La première condition est connue sous le nom de condition de glissement ou encore
de condition de non pénétration (de la paroi).
y
x
u(y, t)
O
h
−h
g
Écoulement à lignes de courant parallèles.
On considère l’écoulement plan d’un fluide parfait
incompressible, entre les deux parois parallèles
d’un canal de largeur 2h (voir figure ci-dessous).
Il est unidirectionnel, soit : #– v = u(x, y, t) #– e x . Le
fluide est pesant et la pesanteur parallèle à l’axe
des y : #– g = −g #– e y . L’équation de conservation de
la masse (5.12) permet d’établir que la vitesse est
indépendante de x :
∂u
∂x
+
∂v
∂ y
= 0 ⇒
∂u
∂x
= 0 ⇒ u = u(y, t).
Par suite, les équations d’Euler (5.14) se réduisent à :
r∂u/∂t = −∂ p g /∂x,
0 = −∂ p g /∂ y ⇒ p g = p g (x, t).
Puisque p g = cste dans une section x = cste, la distribution de pression statique est
hydrostatique, c’est-à-dire qu’elle ne dépend que de l’altitude y.
Lorsque dans un écoulement, les lignes de courant sont localement rectilignes, le
gradient de pression réduite
#–
∇ p g est localement parallèle à la vitesse #– v .
5.4 THÉORÈMES DE BERNOULLI
5.4.1 Formes locales
Les deux théorèmes de Bernoulli supposent que :
1) le fluide est parfait (forces de surface = forces de pression) ;
2) le fluide est barotrope : r = r( p) et d p/r = dH ;
a) si le fluide est incompressible : H = p/r ;
b) si le fluide est un gaz parfait isentropique : H = h = [g/(g − 1)]( p/r).
3) le fluide est pesant :
#–
f = #– g .
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
125
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 125 — #135
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surface de courant, surface abstraite tracée dans le fluide) :
#– v · #– n = 0 : sur une frontière et une interface imperméable et immobile.
p 1 = p 2 : de part et d’autre d’une interface imperméable et immobile.
(5.16)
Remarque
La première condition est connue sous le nom de condition de glissement ou encore
de condition de non pénétration (de la paroi).
y
x
u(y, t)
O
h
−h
g
Écoulement à lignes de courant parallèles.
On considère l’écoulement plan d’un fluide parfait
incompressible, entre les deux parois parallèles
d’un canal de largeur 2h (voir figure ci-dessous).
Il est unidirectionnel, soit : #– v = u(x, y, t) #– e x . Le
fluide est pesant et la pesanteur parallèle à l’axe
des y : #– g = −g #– e y . L’équation de conservation de
la masse (5.12) permet d’établir que la vitesse est
indépendante de x :
∂u
∂x
+
∂v
∂ y
= 0 ⇒
∂u
∂x
= 0 ⇒ u = u(y, t).
Par suite, les équations d’Euler (5.14) se réduisent à :
r∂u/∂t = −∂ p g /∂x,
0 = −∂ p g /∂ y ⇒ p g = p g (x, t).
Puisque p g = cste dans une section x = cste, la distribution de pression statique est
hydrostatique, c’est-à-dire qu’elle ne dépend que de l’altitude y.
Lorsque dans un écoulement, les lignes de courant sont localement rectilignes, le
gradient de pression réduite
#–
∇ p g est localement parallèle à la vitesse #– v .
5.4 THÉORÈMES DE BERNOULLI
5.4.1 Formes locales
Les deux théorèmes de Bernoulli supposent que :
1) le fluide est parfait (forces de surface = forces de pression) ;
2) le fluide est barotrope : r = r( p) et d p/r = dH ;
a) si le fluide est incompressible : H = p/r ;
b) si le fluide est un gaz parfait isentropique : H = h = [g/(g − 1)]( p/r).
3) le fluide est pesant :
#–
f = #– g .
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