Chapitre 5 • Fluides parfaits
Remarque
Cette expression est également connue sous le nom de théorème des quantités de
mouvement ou théorème de la résultante globale ou encore théorème d’Euler.
En regroupant le taux de variation de la quantité de mouvement et l’intégrale des forces
de pression sous une intégrale de volume (formule du gradient), puis en appliquant
le lemme fondamental, nous obtenons la loi fondamentale de la dynamique sous
forme locale ou équation d’Euler :
r
d #–
v
dt
= r
∂ #–
v
∂t
+
#–
∇ #– v · #–
v
=
∂
∂t
(r #–
v ) + div(r #–
v ⊗ #– v ) = r
#–
g −
#–
∇p,
r
dvi
dt
= r
∂vi
∂t
+
∂vi
∂x j
v j
=
∂
∂t
(rvi) +
∂
∂x j
(rviv j ) = rgi −
∂p
∂xi
.
(5.14)
Remarque
La deuxième forme s’obtient à partir de la première et de la conservation de la
masse (5.12).
Dans le cas d’un fluide barotrope, c’est-à-dire compressible, r = r( p), et on peut
transformer le gradient de pression :
d p
r( p)
= dH( p) ⇔
(1/r)(∂ p/∂t) = ∂H/∂t,
(1/r)
#–
∇ p =
#–
∇H,
⇔ H =
d p
r( p)
.
L’exemple le plus classique est celui du gaz parfait en écoulement isentropique qui
vérifie l’équation p/r
g = cste et pour lequel on trouve (cf. chap. Les deux principes de
la thermodynamique, § 2-3.2) :
H = h =
g
g − 1
p
r
.
H s’identifie alors à l’enthalpie par unité de masse h = u + p/r où u est l’énergie
interne par unité de masse {voir également (5.17)}. En regroupant le cas général et celui
du gaz parfait, l’équation d’Euler s’écrit :
d #– v
dt
= #– g −
#–
∇H = #– g −
g
g − 1
#–
∇
p
r
.
(5.15)
Dans le cas d’un fluide incompressible, H = p/r et on peut faire apparaître la
pression réduite p g = p + rgZ , ce qui permet de simplifier l’équation d’Euler :
r
d #– v
dt
= −
#–
∇ p g ⇔ r
dv i
dt
= −
∂ p g
∂x i
.
Pour constituer un système intégrable, les équations (5.12) et (5.14) doivent disposer
de conditions aux frontières. Elles dépendent de la nature de la frontière (paroi solide,
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