5.3. Dynamique
5.3 DYNAMIQUE
5.3.1 Conservation de la masse
La masse de tout ou partie d’un système matériel S que l’on suit dans son mouvement
reste constante au cours du temps.
Soit D ⊂ S ce domaine et M sa masse. D’après (5.10) 2 , nous obtenons la conservation de la masse sous forme globale :
∀D ⊂ S :
dM
dt
=
d
dt
D
rdV =
D
∂r
∂t
dV +
∂D
r( #– v • #– n )dA = 0
Mise sous forme d’une intégrale de volume au moyen de (5.10) 1 , cette relation est
vérifiée quel que soit D ⊂ S et c’est donc l’intégrande qui est nulle (lemme fondamental). Il vient ainsi la conservation de la masse sous forme locale :
∂r
∂t
+ div(r #– v ) =
dr
dt
+ r div #– v = 0 ⇔
∂r
∂t
+
∂
∂x i
(rv i ) =
dr
dt
+ r
∂v i
∂x i
= 0.
(5.12)
Remarque
Lorsque r = cste, le fluide est dit incompressible ce qui implique div #–
v = 0. Cette
équation est souvent appelée : équation de continuité
Voir NPB,
§ 5-6.1.4
.
5.3.2 Conservation de la quantité de mouvement
Il existe au moins un référentiel, dit galiléen ou absolu, et une chronologie, dite absolue,
tels que, à chaque instant et pour toute partie D d’un système S, le taux de variation de
la quantité de mouvement de D est égal à la somme des forces extérieures s’exerçant
sur D.
Le taux de variation de la quantité de mouvement de D est donné par (5.11). On se
limite au cas d’un écoulement dans le champ de la pesanteur (
#–
f = #– g ). Par ailleurs,
comme en statique (section 5.1.1), les forces extérieures se répartissent en forces de
volume et forces de surface.
Définition
Dans les limites de l’approximation de fluide parfait, le mouvement et la déformation
du fluide ne génèrent aucune force de surface autre que la force de pression.
La formulation de la conservation de la quantité de mouvement conduit à la loi
fondamentale de la dynamique sous forme globale :
∀D ⊂ S :
D
∂
∂t
(r #– v )dV +
∂D
r #– v ( #– v · #– n )dA =
D
r #– g dV +
∂D
(− p #– n )dA
(5.13)
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
123
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 123 — #133
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5.3.1 Conservation de la masse
La masse de tout ou partie d’un système matériel S que l’on suit dans son mouvement
reste constante au cours du temps.
Soit D ⊂ S ce domaine et M sa masse. D’après (5.10) 2 , nous obtenons la conservation de la masse sous forme globale :
∀D ⊂ S :
dM
dt
=
d
dt
D
rdV =
D
∂r
∂t
dV +
∂D
r( #– v • #– n )dA = 0
Mise sous forme d’une intégrale de volume au moyen de (5.10) 1 , cette relation est
vérifiée quel que soit D ⊂ S et c’est donc l’intégrande qui est nulle (lemme fondamental). Il vient ainsi la conservation de la masse sous forme locale :
∂r
∂t
+ div(r #– v ) =
dr
dt
+ r div #– v = 0 ⇔
∂r
∂t
+
∂
∂x i
(rv i ) =
dr
dt
+ r
∂v i
∂x i
= 0.
(5.12)
Remarque
Lorsque r = cste, le fluide est dit incompressible ce qui implique div #–
v = 0. Cette
équation est souvent appelée : équation de continuité
Voir NPB,
§ 5-6.1.4
.
5.3.2 Conservation de la quantité de mouvement
Il existe au moins un référentiel, dit galiléen ou absolu, et une chronologie, dite absolue,
tels que, à chaque instant et pour toute partie D d’un système S, le taux de variation de
la quantité de mouvement de D est égal à la somme des forces extérieures s’exerçant
sur D.
Le taux de variation de la quantité de mouvement de D est donné par (5.11). On se
limite au cas d’un écoulement dans le champ de la pesanteur (
#–
f = #– g ). Par ailleurs,
comme en statique (section 5.1.1), les forces extérieures se répartissent en forces de
volume et forces de surface.
Définition
Dans les limites de l’approximation de fluide parfait, le mouvement et la déformation
du fluide ne génèrent aucune force de surface autre que la force de pression.
La formulation de la conservation de la quantité de mouvement conduit à la loi
fondamentale de la dynamique sous forme globale :
∀D ⊂ S :
D
∂
∂t
(r #– v )dV +
∂D
r #– v ( #– v · #– n )dA =
D
r #– g dV +
∂D
(− p #– n )dA
(5.13)
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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