Chapitre 5 • Fluides parfaits
Le tenseur
#–
∇ #– v n’est pas symétrique et le produit contracté (
#–
∇ #– v · #– v ) n’est pas
commutatif : il faut donc en respecter l’ordre.
Remarque
On montre que l’expression (5.8) de l’accélération peut être mise sous la forme :
#– g = ∂ #–
v /∂t +
#–
∇
1
2
#–
v
2
+
# –
rot #–
v ∧ #–
v ,
(5.9)
formule utile lors de l’établissement des théorèmes de Bernoulli (section 5.4).
Évaluons maintenant le taux de variation de l’intégrale volumique de la fonction
scalaire k( #– x , t) sur un domaine matériel D(t) que l’on suit dans son mouvement :
dK
dt
=
d
dt
D
k( #– x , t)dV ( #– x ) =
D
dk
dt
+
k
dV
d
dt
(dV )
dV
=
D
∂k
∂t
+
#–
∇k · #– v + kdiv #– v
dV ,
où on a fait usage de (5.6) et de (5.7). Par application de la formule de la divergence
(NPB, § 5-6.1.3), on obtient la dérivée particulaire d’une intégrale de volume :
dK
dt
=
D
∂k
∂t
+ div(k #– v )
dV =
D
∂k
∂t
dV +
∂D
k( #– v · #– n )dA.
(5.10)
Cette expression se généralise, composante par composante de #– v , à la quantité de
mouvement, ce qui conduit au
Théorème du transport de Reynolds.
d
dt
D
r #– v dV =
D
∂
∂t
(r #– v ) + div(r #– v ⊗ #– v )
dV
=
D
∂
∂t
(r #– v )dV +
∂D
r #– v ( #– v · #– n )dA
(5.11)
Méthode
La quantité #– v ⊗ #– v est le produit tensoriel (symbole ⊗) du vecteur #– v par luimême ; c’est un tenseur d’ordre 2, symétrique. En coordonnées cartésiennes, il se
représente par une matrice qui s’écrit : ( #– v ⊗ #– v ) i j = v i v j . Il provient de l’identité :
#– v ( #– v · #– n ) = ( #– v ⊗ #– v ) · #– n .
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 122 — #132
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