5.2. Cinématique
5.2.2 Dérivées particulaires
Soit à calculer le taux de variation d’une grandeur scalaire k( #– x , t) définie en représentation eulérienne mais attachée à une particule que l’on suit dans son mouvement
#– x = #– x (t, #– x 0 ), représentation lagrangienne :
dk
dt
= lim
dt→0
k( #– x + d #– x , t + dt) − k( #– x , t)
dt
=
∂k
∂t
+
#–
∇k ·
d #– x
dt
=
∂k
∂t
+
#–
∇k · #– v
(5.7)
Cas d’une fonction d’une seule variable d’espace
dk(x, t) = (∂k/∂t)dt + (∂k/∂x)(vdt) = (∂k/∂t)dt + (∂k/∂x)dx.
Dérivée particulaire et différentielle totale de k(x, t) se déduisent l’une de l’autre.
En raisonnant composante par composante, on calcule ainsi l’accélération en représentation d’Euler :
#– g =
d #– v
dt
=
∂ #– v
∂t
+
#–
∇ #– v · #– v ⇔ g i =
dv i
dt
=
∂v i
∂t
+
∂v i
∂x j
v j
(5.8)
Définitions
La dérivée partielle (∂ #– v /∂t) est l’accélération locale tandis que le terme non linéaire
(
#–
∇ #– v · #– v ) est l’accélération convective. Ces deux termes se mesurent en m · s
−2 .
Convention de l’indice muet ou convention d’Einstein
Lorsqu’un indice littéral est répété deux fois dans un monôme, celui-ci doit être remplacé
par la somme de ses valeurs en donnant à cet indice les valeurs 1, 2 et 3 (ou 1 et 2, selon
la dimension de l’espace).
Exemple
Produit scalaire (dans R
3 ) : #– a ·
#–
b = aibi =
i=3
i=1
aibi.
Produit matriciel (dans R
2 ) : (M ·
#–
V ) · #– ei = M ij V j =
j=2
j=1
M ij Vj.
Méthode
Le tenseur
#–
∇ #– v se représente comme une matrice carrée. En coordonnées cartésiennes et pour un écoulement plan, le produit contracté
#–
∇ #– v · #– v s’écrit :
#–
∇ #– v · #– v =
∂u/∂x ∂u/∂ y
∂v/∂x ∂v/∂ y
·
u
v
=
u∂u/∂x + v∂u/∂ y
u∂v/∂x + v∂v/∂ y
À l’instar d’un vecteur, un tenseur est un objet mathématique défini intrinsèquement,
c’est-à-dire indépendamment du système de coordonnées utilisé pour le représenter.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
121
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 121 — #131
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Soit à calculer le taux de variation d’une grandeur scalaire k( #– x , t) définie en représentation eulérienne mais attachée à une particule que l’on suit dans son mouvement
#– x = #– x (t, #– x 0 ), représentation lagrangienne :
dk
dt
= lim
dt→0
k( #– x + d #– x , t + dt) − k( #– x , t)
dt
=
∂k
∂t
+
#–
∇k ·
d #– x
dt
=
∂k
∂t
+
#–
∇k · #– v
(5.7)
Cas d’une fonction d’une seule variable d’espace
dk(x, t) = (∂k/∂t)dt + (∂k/∂x)(vdt) = (∂k/∂t)dt + (∂k/∂x)dx.
Dérivée particulaire et différentielle totale de k(x, t) se déduisent l’une de l’autre.
En raisonnant composante par composante, on calcule ainsi l’accélération en représentation d’Euler :
#– g =
d #– v
dt
=
∂ #– v
∂t
+
#–
∇ #– v · #– v ⇔ g i =
dv i
dt
=
∂v i
∂t
+
∂v i
∂x j
v j
(5.8)
Définitions
La dérivée partielle (∂ #– v /∂t) est l’accélération locale tandis que le terme non linéaire
(
#–
∇ #– v · #– v ) est l’accélération convective. Ces deux termes se mesurent en m · s
−2 .
Convention de l’indice muet ou convention d’Einstein
Lorsqu’un indice littéral est répété deux fois dans un monôme, celui-ci doit être remplacé
par la somme de ses valeurs en donnant à cet indice les valeurs 1, 2 et 3 (ou 1 et 2, selon
la dimension de l’espace).
Exemple
Produit scalaire (dans R
3 ) : #– a ·
#–
b = aibi =
i=3
i=1
aibi.
Produit matriciel (dans R
2 ) : (M ·
#–
V ) · #– ei = M ij V j =
j=2
j=1
M ij Vj.
Méthode
Le tenseur
#–
∇ #– v se représente comme une matrice carrée. En coordonnées cartésiennes et pour un écoulement plan, le produit contracté
#–
∇ #– v · #– v s’écrit :
#–
∇ #– v · #– v =
∂u/∂x ∂u/∂ y
∂v/∂x ∂v/∂ y
·
u
v
=
u∂u/∂x + v∂u/∂ y
u∂v/∂x + v∂v/∂ y
À l’instar d’un vecteur, un tenseur est un objet mathématique défini intrinsèquement,
c’est-à-dire indépendamment du système de coordonnées utilisé pour le représenter.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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