Chapitre 5 • Fluides parfaits
Remarque
Un champ de vitesse tel que div #–
v = 0 est incompressible puisque dV ne varie pas
au cours du temps. Il en est ainsi dans la plupart des écoulements de liquides ; en
revanche, les effets de la compressibilité sont beaucoup plus sensibles dans les gaz.
e) Fonction de courant
Dans le cas d’un écoulement plan, la relation div #– v = 0 est automatiquement vérifiée
par la fonction de courant c(x, y, t) définie par :
∂c/∂ y = u(x, y, t) et ∂c/∂x = −v(x, y, t).
Méthode
La fonction de courant est constante sur une ligne de courant et une relation de la
forme c(x, y, t) = c 0 est l’équation d’une ligne de courant. En régime permanent,
trajectoires et lignes de courant sont confondues.
f) Rotationnel du champ de vitesse
En coordonnées cartésiennes
Il suffit de
connaître la
première
composante
pour obtenir
les suivantes
par
permutation
circulaire.
:
# –
rot #– v =
∂w
∂ y
−
∂v
∂z
#– e x +
∂u
∂z
−
∂w
∂x
#– e y +
∂v
∂x
−
∂u
∂ y
#– e z = 2 #–
v,
où #–
v est le taux de rotation d’une particule fluide sur elle-même (vecteur tourbillon).
g) Potentiel des vitesses
Un écoulement dont le champ de vitesse est tel que
# –
rot #– v = 0 est irrotationnel. Dans
ce cas, on sait que le vecteur #– v est le gradient de la fonction w( #– x , t) nommée
Voir NPB,
§ 5-4.3
potentiel
des vitesses.
#– v =
#–
∇w =
∂w
∂x
#– e x +
∂w
∂ y
#– e y +
∂w
∂z
#– e z .
a. Conduit convergent
b. Angle droit
δV
δV
δV
δV
δV
δV
t 1
t 1
t 2
t 2
t 3
t 3
Figure 5.2 Écoulements incompressible et irrotationnel
Écoulement incompressible (fig. a) : div #– v = 0. Le volume dV se déforme mais reste
constant. Écoulement irrotationnel (fig. b) :
# –
rot #– v = 0. La croix tracée sur le fluide reste
parallèle aux axes. Un écoulement peut disposer des deux propriétés simultanément.
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 120 — #130
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Un champ de vitesse tel que div #–
v = 0 est incompressible puisque dV ne varie pas
au cours du temps. Il en est ainsi dans la plupart des écoulements de liquides ; en
revanche, les effets de la compressibilité sont beaucoup plus sensibles dans les gaz.
e) Fonction de courant
Dans le cas d’un écoulement plan, la relation div #– v = 0 est automatiquement vérifiée
par la fonction de courant c(x, y, t) définie par :
∂c/∂ y = u(x, y, t) et ∂c/∂x = −v(x, y, t).
Méthode
La fonction de courant est constante sur une ligne de courant et une relation de la
forme c(x, y, t) = c 0 est l’équation d’une ligne de courant. En régime permanent,
trajectoires et lignes de courant sont confondues.
f) Rotationnel du champ de vitesse
En coordonnées cartésiennes
Il suffit de
connaître la
première
composante
pour obtenir
les suivantes
par
permutation
circulaire.
:
# –
rot #– v =
∂w
∂ y
−
∂v
∂z
#– e x +
∂u
∂z
−
∂w
∂x
#– e y +
∂v
∂x
−
∂u
∂ y
#– e z = 2 #–
v,
où #–
v est le taux de rotation d’une particule fluide sur elle-même (vecteur tourbillon).
g) Potentiel des vitesses
Un écoulement dont le champ de vitesse est tel que
# –
rot #– v = 0 est irrotationnel. Dans
ce cas, on sait que le vecteur #– v est le gradient de la fonction w( #– x , t) nommée
Voir NPB,
§ 5-4.3
potentiel
des vitesses.
#– v =
#–
∇w =
∂w
∂x
#– e x +
∂w
∂ y
#– e y +
∂w
∂z
#– e z .
a. Conduit convergent
b. Angle droit
δV
δV
δV
δV
δV
δV
t 1
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t 2
t 2
t 3
t 3
Figure 5.2 Écoulements incompressible et irrotationnel
Écoulement incompressible (fig. a) : div #– v = 0. Le volume dV se déforme mais reste
constant. Écoulement irrotationnel (fig. b) :
# –
rot #– v = 0. La croix tracée sur le fluide reste
parallèle aux axes. Un écoulement peut disposer des deux propriétés simultanément.
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