5.2. Cinématique
5.2 CINÉMATIQUE
5.2.1 Représentations de Lagrange et d’Euler
La représentation de Lagrange consiste à se donner la position initiale #– x 0 = #– x (t 0 )
de tous les points d’un domaine matériel et les fonctions #– x =
#–
F( #– x 0 , t) (équations
horaires) qui déterminent leurs positions aux instants t ultérieurs. La représentation
d’Euler s’appuie sur la donnée, à tout instant t, de la vitesse de chaque point du domaine
#– v = #– v ( #– x , t). Ces deux représentations du mouvement sont équivalentes :
#– x =
#–
F( #– x 0 , t) ⇔ d #– x /dt = #– v ( #– x , t) avec #– x (t 0 ) = #– x 0 .
La représentation de Lagrange ne dépend que d’une seule variable : le temps, alors
que la représentation d’Euler dépend de quatre variables indépendantes : le temps et les
trois coordonnées spatiales. Un champ de vitesse qui dépend du temps (respectivement
qui n’en dépend pas) est dit instationnaire (respectivement. stationnaire ou permanent).
a) Trajectoire.
Lieu des points occupés par une particule pendant son mouvement (t est variable) ; son
équation s’identifie à l’équation horaire #– x =
#–
F( #– x 0 , t).
b) Ligne de courant
Ligne tracée dans le fluide à t fixé et tangente à la vitesse en tous points
Voir NPB, § 5-2
; son équation
est solution du système différentiel ( #– v = u #– e x + v #– e y + w #– e z ) :
dx/u = dy/v = dz/w.
(5.5)
c) Tube de courant
Ensemble de lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé (typiquement, un
conduit)
Voir NPB,
§ 5-2
.
d) Divergence du champ de vitesse
En coordonnées cartésiennes
Voir NPB,
§ 5-6.1
:
div #– v =
∂u
∂x
+
∂v
∂ y
+
∂w
∂z
=
∂v i
∂x i
=
1
dV
d
dt
(dV ).
(5.6)
C’est le taux de variation relatif d’un élément de volume dV suivi dans son mouvement. Si div #– v > 0, le fluide se détend (le volume augmente), sinon il se comprime (le
volume diminue)
Voir NPB,
exo. 5.4
.
Cas de la sphère. Soit une sphère infinitésimale de rayon r (t). Son volume s’écrit
dV =
4
3
pr
3 et, par suite, d(dV )/dt = 4p ˙
rr
2 . D’autre part, par application de la
formule de la divergence
Voir NPB,
§ 5-6.1.3
, on a aussi : div #– v dV = ˙
r 4pr
2 et on retrouve ainsi l’expression 5.6.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
119
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 119 — #129
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5.2.1 Représentations de Lagrange et d’Euler
La représentation de Lagrange consiste à se donner la position initiale #– x 0 = #– x (t 0 )
de tous les points d’un domaine matériel et les fonctions #– x =
#–
F( #– x 0 , t) (équations
horaires) qui déterminent leurs positions aux instants t ultérieurs. La représentation
d’Euler s’appuie sur la donnée, à tout instant t, de la vitesse de chaque point du domaine
#– v = #– v ( #– x , t). Ces deux représentations du mouvement sont équivalentes :
#– x =
#–
F( #– x 0 , t) ⇔ d #– x /dt = #– v ( #– x , t) avec #– x (t 0 ) = #– x 0 .
La représentation de Lagrange ne dépend que d’une seule variable : le temps, alors
que la représentation d’Euler dépend de quatre variables indépendantes : le temps et les
trois coordonnées spatiales. Un champ de vitesse qui dépend du temps (respectivement
qui n’en dépend pas) est dit instationnaire (respectivement. stationnaire ou permanent).
a) Trajectoire.
Lieu des points occupés par une particule pendant son mouvement (t est variable) ; son
équation s’identifie à l’équation horaire #– x =
#–
F( #– x 0 , t).
b) Ligne de courant
Ligne tracée dans le fluide à t fixé et tangente à la vitesse en tous points
Voir NPB, § 5-2
; son équation
est solution du système différentiel ( #– v = u #– e x + v #– e y + w #– e z ) :
dx/u = dy/v = dz/w.
(5.5)
c) Tube de courant
Ensemble de lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé (typiquement, un
conduit)
Voir NPB,
§ 5-2
.
d) Divergence du champ de vitesse
En coordonnées cartésiennes
Voir NPB,
§ 5-6.1
:
div #– v =
∂u
∂x
+
∂v
∂ y
+
∂w
∂z
=
∂v i
∂x i
=
1
dV
d
dt
(dV ).
(5.6)
C’est le taux de variation relatif d’un élément de volume dV suivi dans son mouvement. Si div #– v > 0, le fluide se détend (le volume augmente), sinon il se comprime (le
volume diminue)
Voir NPB,
exo. 5.4
.
Cas de la sphère. Soit une sphère infinitésimale de rayon r (t). Son volume s’écrit
dV =
4
3
pr
3 et, par suite, d(dV )/dt = 4p ˙
rr
2 . D’autre part, par application de la
formule de la divergence
Voir NPB,
§ 5-6.1.3
, on a aussi : div #– v dV = ˙
r 4pr
2 et on retrouve ainsi l’expression 5.6.
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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