5.1. Statique
Globe terrestre
Système dans son environnement
Système isolé
Force de
volume :
pesanteur
Force de
surface :
pression du
fluide
environnant
Liquide
au repos
∂
∂
Figure 5.1 Forces équivalentes à l’action du milieu extérieur sur un système isolé.
en appliquant la formule du gradient
Voir NPB,
§ 5-6.2.4
et le lemme fondamental (cf. infra), il vient :
∀D ⊂ S,
#–
F v +
#–
F s =
D
(r
#–
f −
#–
∇ p)dV = 0 ⇒ r
#–
f −
#–
∇ p = 0,
(5.2)
où la notation «
#–
∇ » est un raccourci pour «
# –
grad »
Voir NPB,
§ 5-3
. Nous obtenons ainsi la Loi fondamentale de la statique :
#–
∇ p = r
#–
f
⇔
∂ p
∂x i
= r f i .
Lemme fondamental de la physique des milieux continus
Soit f (M) une fonction définie et continue dans le domaine S uni, bi ou tridimensionnel. Si l’intégrale de f sur n’importe quel sous-domaine D ⊂ S est nulle, la
fonction f est identiquement nulle dans S.
Dans le cas de la pesanteur :
#–
f = #– g = −g #– e Z et l’expression (5.2) s’écrit en
projection dans le repère cartésien {O, X , Y , Z } où Z est la verticale ascendante :
∂ p/∂ X = 0, ∂ p/∂Y = 0 et ∂ p/∂ Z = −rg ⇒ p = p(Z ).
(5.3)
Les surfaces isobares sont donc des plans horizontaux. Si r et g sont uniformes,
l’équation 5.3 s’intègre pour donner la loi fondamentale de l’hydrostatique :
p g = p + rgZ = cste.
(5.4)
Définition
La constante p g se nomme pression réduite (regroupe deux termes) ou pression
piézométrique (du grec piezein, presser) ou encore pression motrice (force motrice
d’un écoulement en conduit).
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
117
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 117 — #127
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Système dans son environnement
Système isolé
Force de
volume :
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Force de
surface :
pression du
fluide
environnant
Liquide
au repos
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Figure 5.1 Forces équivalentes à l’action du milieu extérieur sur un système isolé.
en appliquant la formule du gradient
Voir NPB,
§ 5-6.2.4
et le lemme fondamental (cf. infra), il vient :
∀D ⊂ S,
#–
F v +
#–
F s =
D
(r
#–
f −
#–
∇ p)dV = 0 ⇒ r
#–
f −
#–
∇ p = 0,
(5.2)
où la notation «
#–
∇ » est un raccourci pour «
# –
grad »
Voir NPB,
§ 5-3
. Nous obtenons ainsi la Loi fondamentale de la statique :
#–
∇ p = r
#–
f
⇔
∂ p
∂x i
= r f i .
Lemme fondamental de la physique des milieux continus
Soit f (M) une fonction définie et continue dans le domaine S uni, bi ou tridimensionnel. Si l’intégrale de f sur n’importe quel sous-domaine D ⊂ S est nulle, la
fonction f est identiquement nulle dans S.
Dans le cas de la pesanteur :
#–
f = #– g = −g #– e Z et l’expression (5.2) s’écrit en
projection dans le repère cartésien {O, X , Y , Z } où Z est la verticale ascendante :
∂ p/∂ X = 0, ∂ p/∂Y = 0 et ∂ p/∂ Z = −rg ⇒ p = p(Z ).
(5.3)
Les surfaces isobares sont donc des plans horizontaux. Si r et g sont uniformes,
l’équation 5.3 s’intègre pour donner la loi fondamentale de l’hydrostatique :
p g = p + rgZ = cste.
(5.4)
Définition
La constante p g se nomme pression réduite (regroupe deux termes) ou pression
piézométrique (du grec piezein, presser) ou encore pression motrice (force motrice
d’un écoulement en conduit).
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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