Chapitre 4 • Mécanique des solides indéformables
b) Intégrale première
Pour un système matériel dont la configuration est caractérisée par un certain nombre
de paramètres(q 1 , q 2 ...q n ), on appelle équation du mouvement toute relation entre les
paramètres de position et leurs dérivées par rapport au temps.
Remarque
L’équation de mouvement ne contient en particulier aucune inconnue de liaison, mais
peut par contre faire intervenir l’expression de forces connues. Les forces connues
désignent ici les forces dont on connaît l’expression en fonction des données du
problème, des paramètres de position, de leurs dérivées par rapport au temps et du
temps. C’est le cas par exemple de l’action de la pesanteur.
Si on note q i la dérivée première par rapport au temps du paramètre de position
q i (i = 1,2, ...n) et t le temps, on appelle intégrale première du mouvement d’un
système matériel, une fonction des q i , q i et t qui reste constante au cours du mouvement.
La relation obtenue est du type :
f (q 1 , q 2 , ..., q n , q 1 , q 2 , ..., q n , t) = cste,
pour tout mouvement du système étudié.
À retenir
Le vecteur vitesse
#–
V (M/R) est la dérivée dans le repère R du vecteur position :
#–
V (M/R) =
d
# –
OM
dt
R
.
Champ des vitesses dans un solide. Soient A et B deux points d’un solide S
indéformable et
#–
V(S/R) le vecteur vitesse de rotation. On a la relation :
#–
V (B ∈ S/R) =
#–
V (A ∈ S/R) +
#–
V(S/R) ∧
# –
AB ∀A, ∀B ∈ S.
Torseur cinématique (ou des vitesses). On dit que le champ des vitesses d’un
solide indéformable S dans son mouvement par rapport à un repère R est représenté
par un torseur appelé torseur cinématique et noté (V comme vitesse) :
{V(S/R)} =
#–
V(S/R)
#–
V (A ∈ S/R)
A
.
Le champ des accélérations n’est pas un champ de torseur.
Composition des accélérations. L’expression de composition est plus complexe
que pour les vitesses et fait apparaître un terme d’accélération dit de Coriolis lié à
la vitesse relative du solide dans le repère entraîné.
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 110 — #120
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b) Intégrale première
Pour un système matériel dont la configuration est caractérisée par un certain nombre
de paramètres(q 1 , q 2 ...q n ), on appelle équation du mouvement toute relation entre les
paramètres de position et leurs dérivées par rapport au temps.
Remarque
L’équation de mouvement ne contient en particulier aucune inconnue de liaison, mais
peut par contre faire intervenir l’expression de forces connues. Les forces connues
désignent ici les forces dont on connaît l’expression en fonction des données du
problème, des paramètres de position, de leurs dérivées par rapport au temps et du
temps. C’est le cas par exemple de l’action de la pesanteur.
Si on note q i la dérivée première par rapport au temps du paramètre de position
q i (i = 1,2, ...n) et t le temps, on appelle intégrale première du mouvement d’un
système matériel, une fonction des q i , q i et t qui reste constante au cours du mouvement.
La relation obtenue est du type :
f (q 1 , q 2 , ..., q n , q 1 , q 2 , ..., q n , t) = cste,
pour tout mouvement du système étudié.
À retenir
Le vecteur vitesse
#–
V (M/R) est la dérivée dans le repère R du vecteur position :
#–
V (M/R) =
d
# –
OM
dt
R
.
Champ des vitesses dans un solide. Soient A et B deux points d’un solide S
indéformable et
#–
V(S/R) le vecteur vitesse de rotation. On a la relation :
#–
V (B ∈ S/R) =
#–
V (A ∈ S/R) +
#–
V(S/R) ∧
# –
AB ∀A, ∀B ∈ S.
Torseur cinématique (ou des vitesses). On dit que le champ des vitesses d’un
solide indéformable S dans son mouvement par rapport à un repère R est représenté
par un torseur appelé torseur cinématique et noté (V comme vitesse) :
{V(S/R)} =
#–
V(S/R)
#–
V (A ∈ S/R)
A
.
Le champ des accélérations n’est pas un champ de torseur.
Composition des accélérations. L’expression de composition est plus complexe
que pour les vitesses et fait apparaître un terme d’accélération dit de Coriolis lié à
la vitesse relative du solide dans le repère entraîné.
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