4.5. Dynamique
totale de la fonction−Ep, et W ne dépend pas de toute l’histoire du mouvement, mais
seulement de l’état du système aux instants initial et final.
b) Exemple : énergie potentielle de la pesanteur
On considère le champ de pesanteur #– g (constant sur le domaine d’intégration) et un
repère R centré à la surface de la Terre (pour lequel le vecteur unitaire #– z est vertical
ascendant). On cherche à calculer l’énergie potentielle des actions de la pesanteur
exercées sur un solide s dont le centre de masse est situé à l’altitude z g . La puissance
associée à la densité massique de forces #– g est donnée par :
P( #– g → s/R) =
M∈s
#– g ·
#–
V (M ∈ s/R) · dm.
En utilisant la définition du centre de masse et le fait que la pesanteur est constante
pour l’intégration :
P( #– g → s/R) = #– g · m
#–
V (C ∈ s/R) = −mg #– z ·
#–
V (C ∈ S/R).
Par définition du vecteur vitesse, et le vecteur #– z étant constant, on obtient :
P( #– g → /R) = −mg #– z ·
d
# –
OC
dt
| R = −mg
d(
# –
OC · #– z )
dt
| R = −mg
dz g
dt
mgz g + cste représente l’énergie potentielle de la pesanteur E p pes , qui est définie à une
constante additive près C :
W ( #– g → s/R) = −E p #– g = −mgz g + cste.
4.5.8 Théorème de l’énergie cinétique
Ce théorème constitue l’interprétation énergétique du PFD.
a) Application à un solide
Rappelons que le PFD appliqué à un solide S de masse m dans son mouvement par
rapport à un référentiel galiléen R g s’écrit :
{D(S/R g )} A =
A(S → S)
A
∀A.
Nous pouvons multiplier (co-moment) chaque membre de l’égalité précédente par le
torseur cinématique {V} de S par rapport à R g .
{V(S/R g )} A · {D(S/R g )} A = {V(S/R g )} A ·
A(S → S)
A
Le membre de droite de l’équation ci-dessus représente la puissance galiléenne des
actions mécaniques extérieures exercées sur le solide S, notée P(S → S/R g ).
Nous pouvons, après quelques calculs, montrer que nous obtenons une nouvelle
expression pour le membre de gauche qui conduit à :
d
dt
T (S/R g ) = P(S → S/R g ).
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
107
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 107 — #117
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totale de la fonction−Ep, et W ne dépend pas de toute l’histoire du mouvement, mais
seulement de l’état du système aux instants initial et final.
b) Exemple : énergie potentielle de la pesanteur
On considère le champ de pesanteur #– g (constant sur le domaine d’intégration) et un
repère R centré à la surface de la Terre (pour lequel le vecteur unitaire #– z est vertical
ascendant). On cherche à calculer l’énergie potentielle des actions de la pesanteur
exercées sur un solide s dont le centre de masse est situé à l’altitude z g . La puissance
associée à la densité massique de forces #– g est donnée par :
P( #– g → s/R) =
M∈s
#– g ·
#–
V (M ∈ s/R) · dm.
En utilisant la définition du centre de masse et le fait que la pesanteur est constante
pour l’intégration :
P( #– g → s/R) = #– g · m
#–
V (C ∈ s/R) = −mg #– z ·
#–
V (C ∈ S/R).
Par définition du vecteur vitesse, et le vecteur #– z étant constant, on obtient :
P( #– g → /R) = −mg #– z ·
d
# –
OC
dt
| R = −mg
d(
# –
OC · #– z )
dt
| R = −mg
dz g
dt
mgz g + cste représente l’énergie potentielle de la pesanteur E p pes , qui est définie à une
constante additive près C :
W ( #– g → s/R) = −E p #– g = −mgz g + cste.
4.5.8 Théorème de l’énergie cinétique
Ce théorème constitue l’interprétation énergétique du PFD.
a) Application à un solide
Rappelons que le PFD appliqué à un solide S de masse m dans son mouvement par
rapport à un référentiel galiléen R g s’écrit :
{D(S/R g )} A =
A(S → S)
A
∀A.
Nous pouvons multiplier (co-moment) chaque membre de l’égalité précédente par le
torseur cinématique {V} de S par rapport à R g .
{V(S/R g )} A · {D(S/R g )} A = {V(S/R g )} A ·
A(S → S)
A
Le membre de droite de l’équation ci-dessus représente la puissance galiléenne des
actions mécaniques extérieures exercées sur le solide S, notée P(S → S/R g ).
Nous pouvons, après quelques calculs, montrer que nous obtenons une nouvelle
expression pour le membre de gauche qui conduit à :
d
dt
T (S/R g ) = P(S → S/R g ).
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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