Chapitre 4 • Mécanique des solides indéformables
a) Énergie potentielle et densité massique d’énergie potentielle
Dans de nombreux cas, la densité massique de forces
#–
f (M, t) peut s’exprimer sous la
forme du gradient (dérivée spatiale) d’une fonction scalaire.
Énergie potentielle
Soit
#–
f (M, t) une densité massique de forces. S’il existe une fonction e(M, t) telle
que :
#–
f (M, t) = −
# –
grad e(M, t)
(4.11)
on dit alors que
#–
f (M, t) dérive de la densité d’énergie potentielle e(M, t).
Remarque
1. La variation élémentaire de(M, t) de e entre les points M et M
′ (infiniment proches)
à l’instant t est reliée au gradient par la relation : de(M, t) =
# –
grad e(M, t).d
# –
OM où
d
# –
OM =
# –
OM
′
−
# –
OM est le vecteur déplacement élémentaire.
2. Dans le cas général
#–
f et e dépendent du temps. Dans le cas contraire, le champ
de forces est dit stationnaire.
Dans ce dernier cas d’un champ de forces stationnaire, on peut calculer le travail
élémentaire dW associé aux forces
#–
f :
dW =
M
#–
f (M) ·
#–
V (M) · dm
dt = −
(
# –
grad e) ·
#–
V (M) · dm
dt
Sous réserve de pouvoir permuter les intégrations spatiale et temporelle, on obtient :
dW = −
# –
grad e(M) ·
#–
V (M)dt
· dm
= −
# –
grad e(M) · d
# –
O M
· dm = −
de(M) · dm
On en déduit donc que :
dW = −
M
e(t + dt) · dm +
M
e(t) · dm = −
E p (t + dt) − E p (t)
= −dE p .
Dans l’équation précédente, E p désigne l’énergie potentielle du système associée
aux forces de densité massique
#–
f . E p ne dépend pas explicitement du temps. Elle reste
dépendante de la position moyenne du système, c’est-à-dire de la position de son centre
de masse.
Remarque
On note dW pour signifier que dans le cas général il n’existe pas d’énergie potentielle.
Si au contraire, il existe une telle énergie potentielle, alors dW est une différentielle
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 106 — #116
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a) Énergie potentielle et densité massique d’énergie potentielle
Dans de nombreux cas, la densité massique de forces
#–
f (M, t) peut s’exprimer sous la
forme du gradient (dérivée spatiale) d’une fonction scalaire.
Énergie potentielle
Soit
#–
f (M, t) une densité massique de forces. S’il existe une fonction e(M, t) telle
que :
#–
f (M, t) = −
# –
grad e(M, t)
(4.11)
on dit alors que
#–
f (M, t) dérive de la densité d’énergie potentielle e(M, t).
Remarque
1. La variation élémentaire de(M, t) de e entre les points M et M
′ (infiniment proches)
à l’instant t est reliée au gradient par la relation : de(M, t) =
# –
grad e(M, t).d
# –
OM où
d
# –
OM =
# –
OM
′
−
# –
OM est le vecteur déplacement élémentaire.
2. Dans le cas général
#–
f et e dépendent du temps. Dans le cas contraire, le champ
de forces est dit stationnaire.
Dans ce dernier cas d’un champ de forces stationnaire, on peut calculer le travail
élémentaire dW associé aux forces
#–
f :
dW =
M
#–
f (M) ·
#–
V (M) · dm
dt = −
(
# –
grad e) ·
#–
V (M) · dm
dt
Sous réserve de pouvoir permuter les intégrations spatiale et temporelle, on obtient :
dW = −
# –
grad e(M) ·
#–
V (M)dt
· dm
= −
# –
grad e(M) · d
# –
O M
· dm = −
de(M) · dm
On en déduit donc que :
dW = −
M
e(t + dt) · dm +
M
e(t) · dm = −
E p (t + dt) − E p (t)
= −dE p .
Dans l’équation précédente, E p désigne l’énergie potentielle du système associée
aux forces de densité massique
#–
f . E p ne dépend pas explicitement du temps. Elle reste
dépendante de la position moyenne du système, c’est-à-dire de la position de son centre
de masse.
Remarque
On note dW pour signifier que dans le cas général il n’existe pas d’énergie potentielle.
Si au contraire, il existe une telle énergie potentielle, alors dW est une différentielle
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