4.5. Dynamique
qui représente le co-moment du torseur cinématique et du torseur des actions mécaniques. D’après ce résultat, on peut énoncer le théorème suivant :
Puissance pour des solides
La puissance des actions mécaniques exercées sur un solide indéformable s en mouvement par rapport à un repère R est égale au co-moment du torseur cinématique
et du torseur des actions mécaniques.
P(s → s/R) = {V(s/R)} · {A(s → s)}
(4.10)
a) Puissance des actions mutuelles entre deux solides
Considérons deux solides S 1 et S 2 en interaction, et en mouvement l’un par rapport à
l’autre (et par rapport à un repère R). S 1 et S 2 sont soumis à des actions mécaniques
caractérisées par un des torseurs de liaisons présentés précédemment. Compte tenu
de la définition de la puissance des actions mécaniques nous pouvons écrire, pour le
solide S 1 : P(S 2 → S 1 /R) = {V(S 1 /R)} · {A(S 2 → S 1 )}. Pour le solide S 2 , en tenant
compte également de la composition des torseurs cinématiques : P(S 1 → S 2 /R) =
{V(S 2 /R)} · {A(S 1 → S 2 } =
{V(S 2 /S 1 )} + {V(S 1 /R)}
· {A(S 1 → S 2 )}. Si nous
ajoutons terme à terme les deux relations précédentes nous obtenons, en tenant compte
du théorème des actions réciproques :
P(S 1 → S 2 /R) + P(S 2 → S 1 /R) = {V(S 2 /S 1 )} · {A(S 1 → S 2 )}
Nous venons de montrer le résultat suivant :
Puissance d’interaction entre solides
La somme de la puissance des actions développées par S 2 sur S 1 et par S 1 sur S 2 , qui
définit la puissance des actions mutuelles entre ces deux solides, est indépendante
du repère choisi pour la calculer, et vaut :
P(S 1 ↔ S 2 ) = {V(S 2 /S 1 )} · {A(S 1 → S 2 )}
4.5.7 Travail
TRAVAIL
Le travail élémentaire dW s’obtient comme le produit de la puissance instantanée élémentaire P(t) par la durée élémentaire dt, il est noté dW = P(t)dt. Le travail s’obtient
par intégration par rapport au temps. Il dépend a priori du référentiel dans lequel on le
calcule ainsi que de la trajectoire de tous les points matériels du système. Unité : dans
le système SI, l’unité du travail est le joule (J). 1 J = 1 kg · m
2 · s
2 .
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
105
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 105 — #115
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qui représente le co-moment du torseur cinématique et du torseur des actions mécaniques. D’après ce résultat, on peut énoncer le théorème suivant :
Puissance pour des solides
La puissance des actions mécaniques exercées sur un solide indéformable s en mouvement par rapport à un repère R est égale au co-moment du torseur cinématique
et du torseur des actions mécaniques.
P(s → s/R) = {V(s/R)} · {A(s → s)}
(4.10)
a) Puissance des actions mutuelles entre deux solides
Considérons deux solides S 1 et S 2 en interaction, et en mouvement l’un par rapport à
l’autre (et par rapport à un repère R). S 1 et S 2 sont soumis à des actions mécaniques
caractérisées par un des torseurs de liaisons présentés précédemment. Compte tenu
de la définition de la puissance des actions mécaniques nous pouvons écrire, pour le
solide S 1 : P(S 2 → S 1 /R) = {V(S 1 /R)} · {A(S 2 → S 1 )}. Pour le solide S 2 , en tenant
compte également de la composition des torseurs cinématiques : P(S 1 → S 2 /R) =
{V(S 2 /R)} · {A(S 1 → S 2 } =
{V(S 2 /S 1 )} + {V(S 1 /R)}
· {A(S 1 → S 2 )}. Si nous
ajoutons terme à terme les deux relations précédentes nous obtenons, en tenant compte
du théorème des actions réciproques :
P(S 1 → S 2 /R) + P(S 2 → S 1 /R) = {V(S 2 /S 1 )} · {A(S 1 → S 2 )}
Nous venons de montrer le résultat suivant :
Puissance d’interaction entre solides
La somme de la puissance des actions développées par S 2 sur S 1 et par S 1 sur S 2 , qui
définit la puissance des actions mutuelles entre ces deux solides, est indépendante
du repère choisi pour la calculer, et vaut :
P(S 1 ↔ S 2 ) = {V(S 2 /S 1 )} · {A(S 1 → S 2 )}
4.5.7 Travail
TRAVAIL
Le travail élémentaire dW s’obtient comme le produit de la puissance instantanée élémentaire P(t) par la durée élémentaire dt, il est noté dW = P(t)dt. Le travail s’obtient
par intégration par rapport au temps. Il dépend a priori du référentiel dans lequel on le
calcule ainsi que de la trajectoire de tous les points matériels du système. Unité : dans
le système SI, l’unité du travail est le joule (J). 1 J = 1 kg · m
2 · s
2 .
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