4.5. Dynamique
D(s/R)
=
m
#–
G (C ∈ S/R)
#–
d (A ∈ S/R) =
M∈S
# –
AM ∧
#–
G (M/R) · dm
A
(4.6)
Le moment cinétique s’écrit, en un point A quelconque :
#–
s(A ∈ S/R) =
M∈S
# –
AM ∧
#–
V (M/R) · dm.
Par dérivation de cette égalité on aboutit à la relation :
#–
d (A ∈ S/R) =
d #–
s(A ∈ S/R)
dt
R
+ m ·
#–
V (A ∈ R) ∧
#–
V (C ∈ S/R)
(4.7)
4.5.3 Principe fondamental de la dynamique
Nous rappelons que nous nous intéressons à des systèmes n’échangeant pas de matière
avec l’extérieur. De tels systèmes sont dits fermés.
Principe fondamental de la dynamique
Il existe au moins un repère R g appelé repère galiléen et au moins une chronologie
galiléenne tels que que pour tout sous-ensemble matériel s d’un ensemble S, le
torseur des actions extérieures à s (noté {A(s → s)}) est égal au torseur dynamique
de s par rapport au repère R g et ceci à tout instant t.
{D(s/R g )} A = {A(s → s)} ∀s ∪ S.
On peut déduire du PFS les deux théorèmes de la résultante dynamique et du
moment dynamique obtenus à partir des deux composantes des torseurs.
Pour deux systèmes fermés S 1 et S 2 , nous avons dans le cas de la statique démontré
que le torseur des actions exercées par S 2 sur S 1 est opposé au torseur des actions
exercées par S 1 sur S 2 . Cette propriété reste vérifiée en dynamique.
4.5.4 Principe fondamental en repère non galiléen
Dans la pratique lorsque nous devons nous intéresser au mouvement de mécanismes
(mouvement de solides par rapport à d’autres solides), il est parfois plus avantageux
de se placer dans un repère non galiléen. Considérons un repère quelconque R, en
mouvement par rapport à un repère galiléen R g . Le PFD appliqué à un système fermé s
(qui peut être un solide unique ou un ensemble de solides), par rapport à R g , s’écrit :
{D(s/R g )} = {A(s → s)}. L’accélération absolue
#–
G (M/R g ) peut se décomposer, en
faisant intervenir le repère relatif R, de la façon suivante :
#–
G (M ∈ s/R g ) =
#–
G (M ∈ s/R) +
#–
G (M ∈ R/R g ) + 2
#–
V(R/R g ) ∧
#–
V (M ∈ s/R).
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
103
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 103 — #113
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G (C ∈ S/R)
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d (A ∈ S/R) =
M∈S
# –
AM ∧
#–
G (M/R) · dm
A
(4.6)
Le moment cinétique s’écrit, en un point A quelconque :
#–
s(A ∈ S/R) =
M∈S
# –
AM ∧
#–
V (M/R) · dm.
Par dérivation de cette égalité on aboutit à la relation :
#–
d (A ∈ S/R) =
d #–
s(A ∈ S/R)
dt
R
+ m ·
#–
V (A ∈ R) ∧
#–
V (C ∈ S/R)
(4.7)
4.5.3 Principe fondamental de la dynamique
Nous rappelons que nous nous intéressons à des systèmes n’échangeant pas de matière
avec l’extérieur. De tels systèmes sont dits fermés.
Principe fondamental de la dynamique
Il existe au moins un repère R g appelé repère galiléen et au moins une chronologie
galiléenne tels que que pour tout sous-ensemble matériel s d’un ensemble S, le
torseur des actions extérieures à s (noté {A(s → s)}) est égal au torseur dynamique
de s par rapport au repère R g et ceci à tout instant t.
{D(s/R g )} A = {A(s → s)} ∀s ∪ S.
On peut déduire du PFS les deux théorèmes de la résultante dynamique et du
moment dynamique obtenus à partir des deux composantes des torseurs.
Pour deux systèmes fermés S 1 et S 2 , nous avons dans le cas de la statique démontré
que le torseur des actions exercées par S 2 sur S 1 est opposé au torseur des actions
exercées par S 1 sur S 2 . Cette propriété reste vérifiée en dynamique.
4.5.4 Principe fondamental en repère non galiléen
Dans la pratique lorsque nous devons nous intéresser au mouvement de mécanismes
(mouvement de solides par rapport à d’autres solides), il est parfois plus avantageux
de se placer dans un repère non galiléen. Considérons un repère quelconque R, en
mouvement par rapport à un repère galiléen R g . Le PFD appliqué à un système fermé s
(qui peut être un solide unique ou un ensemble de solides), par rapport à R g , s’écrit :
{D(s/R g )} = {A(s → s)}. L’accélération absolue
#–
G (M/R g ) peut se décomposer, en
faisant intervenir le repère relatif R, de la façon suivante :
#–
G (M ∈ s/R g ) =
#–
G (M ∈ s/R) +
#–
G (M ∈ R/R g ) + 2
#–
V(R/R g ) ∧
#–
V (M ∈ s/R).
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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