Chapitre 4 • Mécanique des solides indéformables
4.5 DYNAMIQUE
4.5.1 Torseur dynamique
a) Définition
Torseur dynamique
Le torseur dynamique {D}, ou torseur des quantités d’accélération d’un système
matériel S en mouvement par rapport à un repère R, est défini de la façon suivante,
en un point A quelconque :
{D(S/R)} A =

     
     
M∈S
#–
G (M/R) · dm
#–
d (A ∈ S/R) =
M∈S
# –
AM ∧
#–
G (M/R) · dm

     
     
(4.4)
Dans le torseur dynamique :
le vecteur
M∈S
#–
G (M/R)dm représente la résultante des accélérations et s’obtient
par sommation ou intégration sur le solide S du vecteur des quantités d’accélération
élémentaires
#–
G (M ∈ S/R)dm. Unité : newton (N) ;
le moment dynamique par rapport au point A est la somme ou intégrale des moments,
par rapport au point A, des quantités d’accélération de tous les points de S. Unité :
newton mètre (N · m).
4.5.2 Relation entre le torseur cinétique et le torseur dynamique
Les torseurs cinétique et dynamique sont construits selon le même principe, le torseur
cinétique à partir des vitesses et le torseur dynamique à partir des accélérations. En
conséquence, il paraît logique de rechercher des relations de dérivation entre ces deux
torseurs. Lors de l’étude du torseur cinétique, nous avons défini la résultante cinétique
par : #– p (S/R) = m
#–
V (C ∈ S/R) =
M∈S
#–
V (M/R) · dm. En dérivant chaque membre
de l’égalité précédente par rapport au temps dans le repère R, et en tenant compte de la
propriété issue de la conservation de la masse on obtient :
Résultante dynamique
m
#–
G (C ∈ S/R) =
M∈S
#–
G (M/R) · dm
(4.5)
La résultante dynamique apparaît ainsi comme la dérivée par rapport au temps de la
résultante cinétique, ce qui conduit à l’expression suivante du torseur dynamique :
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 102 — #112
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