Chapitre 4 • Mécanique des solides indéformables
4.2.4 Énergie cinétique d’un solide
On a vu que l’énergie cinétique T d’un solide S dans son mouvement par rapport à un
repère R est donnée par : T (S/R) =
1
2
∀M∈S
#–
V
2 (M/R) · dm. En supposant que le
point A appartient au solide S on a :
#–
V (M ∈ S/R) =
#–
V (A ∈ S/R) +
# –
M A ∧
#–
V(S/R)
et on aboutit à :
T (S/R) =

 
 
#–
V(S/R)
#–
V (A ∈ S/R)

 
 
A
.

 
 
#– p (S/R)
s(A ∈ S/R)

 
 
A
=
V(S/R)
A
.
C(S/R)
A
.
Théorème
L’énergie cinétique d’un solide est le comoment du torseur cinématique et du torseur
cinétique (pris au même point).
4.2.5 Torseur dynamique
On construit également le torseur dynamique d’un solideS, de masse M S et de centre
de masse C, dans son mouvement par rapport à un repère R de la manière suivante :
D(S/R)
=

    
    
∀M∈S
#–
G (M/R) · dm
∀M∈S
# –
AM ∧
#–
G (M/R) · dm

    
    
A
La résultante du torseur cinétique s’écrit : #– p (S/R) =
∀M∈S
#–
V (M/R) · dm =
M S
#–
V (C/R). Pour un système à masse conservative, la résultante du torseur dynamique est la dérivée par rapport au temps de la résultante du torseur cinétique :
d #– p (S/R)
dt
R
=
∀M∈S
#–
G (M/R) · dm = M S
#–
G (C/R).
Le moment cinétique du solide S s’écrit : #–
s(A, S/R) =
∀M∈S
# –
AM ∧
#–
V (M/R) · dm.
Pour un système à masse conservative, le moment dynamique
∀M∈S
# –
AM ∧
#–
G (M/R)
· dm, noté
#–
d (A, S/R), peut donc s’exprimer de la manière suivante :
#–
d (A, S/R) =
ds(A, S/R)
dt
R
+ M S
#–
V (A/R) ∧
#–
V (C/R).
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 98 — #108
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