Chapitre 4 • Mécanique des solides indéformables
Donc le torseur cinétique au point C se résume à :
C(S/R)
=

 
 
(ml/2)a #– y 1
(ml
2 /12)a #– z

 
 
C
On peut effectuer ce calcul en O et on obtient :
ml
2
3
a #– z soit par intégration soit par
utilisation de la relation de moment de torseur.
x
y
z
y 1
x 1
dx 1
x 1
O
C
α
Nous venons de calculer le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe quelconque passant par un point O quelconque. On a :
I D(O, #– u ) =
M∈S
(
# –
O M ∧ #– u )
2 · dm =
M∈S
(
# –
O M ∧ #– u ) · (
# –
O M ∧ #– u ) · dm
I D(O, #– u ) = #– u
M∈S
((
# –
O M ∧ #– u ) ∧
# –
O M) · dm = #– u · #– v
avec : #– v =
M∈S
((
# –
O M ∧ #– u ) ∧
# –
O M) · dm. Nous retrouvons le résultat déjà mentionné
relatif au tenseur d’inertie.
Le moment d’inertie d’un système par rapport à un axe D de vecteur unitaire #– u est
donc donné par : I D(O, #– u ) = #– u .(J . #– u ).
Quels sont les éléments de la matrice représentative du tenseur d’inertie dans une
base donnée ? Soit (O, #– x , #– y , #– z ) un repère tel que O ∈ D ( #– u ,O) . On suppose que les
composantes de #– u sont (a, b, g). Soit un point M(x, y, z) du système.
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 96 — #106
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