4.2. Cinétique
cinétique #– p (S/R) et le moment cinétique #–
s(A, S/R) en un point A :
C(S/R)
=
#– p (S/R)
#–
s(A, S/R)
A
C(S/R)
est un torseur, appelé torseur cinétique de S par rapport à R et noté :
C(S/R)
=
#– p (S/R) =
∀M∈S
#–
V (M/R) · dm
#–
s(A, S/R) =
∀M∈S
# –
AM ∧
#–
V (M/R) · dm
A
Le tenseur d’inertie se représente par une matrice notée [J (C, S)] B dans une base
B donnée et appelée la matrice d’inertie de S calculée au point C et exprimée dans
la base B. Nous avons, dans cette base, la relation matricielle [v] = [J (C, S)] B [u].
Nous ne développons pas cette partie technique que l’on peut trouver détaillée dans des
ouvrages.
On distingue deux cas particuliers courants et importants.
Le point A est fixe dans R.
#–
V (A ∈ S/R) =
#–
0
et #–
s(A, S/R) = J (A, S) ·
#–
V(S/R).
On choisit de calculer le moment cinétique en C.
# –
CC =
#–
0 et :
#–
s(C, S/R) = J (C, S) ·
#–
V(S/R).
4.2.2 Exemple : calcul du torseur cinétique d’une barre
Considérons une barre d’épaisseur négligeable, de longueur l, homogène de masse m en
liaison pivot d’axe z avec le bâti. Soit à calculer le torseur cinétique au centre de masse
et au point O origine du repère.
V(S/R)
=
m
#–
V (G/R)
∀P∈S
# –
C P ∧
#–
V (G/R) · dm
C
Le vecteur position
# –
OC vaut l/2 #– x 1 ce qui donne :
#–
V (C/R) = l/2a #– y 1 . Pour calculer
le moment cinétique, il faut prendre un petit élément de longueur dx 1 situé à une distance
x 1 de C. L’élément de masse dm vaut m/l dx 1 ; m/l représente la masse linéique de la
tige. On a alors :
∀P∈S
# –
C P ∧
#–
V (M/R) · dm =
l
0
(x 1 − l/2) #– x 1 ∧ lx 1 a #– y 1 · dm =
ml
2
12
a #– z
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
95
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 95 — #105
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cinétique #– p (S/R) et le moment cinétique #–
s(A, S/R) en un point A :
C(S/R)
=
#– p (S/R)
#–
s(A, S/R)
A
C(S/R)
est un torseur, appelé torseur cinétique de S par rapport à R et noté :
C(S/R)
=
#– p (S/R) =
∀M∈S
#–
V (M/R) · dm
#–
s(A, S/R) =
∀M∈S
# –
AM ∧
#–
V (M/R) · dm
A
Le tenseur d’inertie se représente par une matrice notée [J (C, S)] B dans une base
B donnée et appelée la matrice d’inertie de S calculée au point C et exprimée dans
la base B. Nous avons, dans cette base, la relation matricielle [v] = [J (C, S)] B [u].
Nous ne développons pas cette partie technique que l’on peut trouver détaillée dans des
ouvrages.
On distingue deux cas particuliers courants et importants.
Le point A est fixe dans R.
#–
V (A ∈ S/R) =
#–
0
et #–
s(A, S/R) = J (A, S) ·
#–
V(S/R).
On choisit de calculer le moment cinétique en C.
# –
CC =
#–
0 et :
#–
s(C, S/R) = J (C, S) ·
#–
V(S/R).
4.2.2 Exemple : calcul du torseur cinétique d’une barre
Considérons une barre d’épaisseur négligeable, de longueur l, homogène de masse m en
liaison pivot d’axe z avec le bâti. Soit à calculer le torseur cinétique au centre de masse
et au point O origine du repère.
V(S/R)
=
m
#–
V (G/R)
∀P∈S
# –
C P ∧
#–
V (G/R) · dm
C
Le vecteur position
# –
OC vaut l/2 #– x 1 ce qui donne :
#–
V (C/R) = l/2a #– y 1 . Pour calculer
le moment cinétique, il faut prendre un petit élément de longueur dx 1 situé à une distance
x 1 de C. L’élément de masse dm vaut m/l dx 1 ; m/l représente la masse linéique de la
tige. On a alors :
∀P∈S
# –
C P ∧
#–
V (M/R) · dm =
l
0
(x 1 − l/2) #– x 1 ∧ lx 1 a #– y 1 · dm =
ml
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a #– z
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