Chapitre 4 • Mécanique des solides indéformables
b) Composition des vecteurs accélération
Soit un point P, appartenant à un solide S 2 , en mouvement à la fois par rapport à un
repère R 1 (O 1 , #– x 1 , #– y 1 , #– z 1 ) et par rapport à un repère R(O, #– x , #– y , #– z ). On va chercher
maintenant la relation entre les vecteurs accélération
#–
G (P/R 1 ) et
#–
G (P/R). Il a été
montré aux paragraphes précédents que :
#–
V (P/R) =
#–
V (P/R 1 ) +
#–
V (P ∈ R 1 /R) ce
qui s’écrit aussi :
#–
V (P/R) =
#–
V (P/R 1 ) +
#–
V (O 1 ∈ R 1 /R) +
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
# –
O 1 P. Par
dérivation de chaque terme et quelques manipulations on arrive à la relation :
#–
G (P/R) =
#–
G (P/R 1 ) +
#–
G (P ∈ R 1 /R) + 2
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
#–
V (P/R 1 )
Dans le mouvement du point P par rapport aux repères R et R 1 , on appelle :
• vecteur accélération absolue :
#–
G (P/R).
• Vecteur accélération relative :
#–
G (P/R 1 ).
• Vecteur accélération d’entraînement :
#–
G (P ∈ R 1 /R).
• Vecteur accélération de Coriolis : 2
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
#–
V (P/R 1 ).
4.2 CINÉTIQUE
4.2.1 Torseur cinétique
Pour un point matériel M de masse élémentaire dm la quantité de mouvement associée au mouvement de ce point par rapport à un référentiel du mouvement R est :
#– p (S/R) =
#–
V (M/R)dm. Considérons maintenant non plus un point matériel, mais un
solide continuS, la résultante cinétique est alors définie comme suit, à l’instant t :
#– p (S/R) =
∀M∈S
#–
V (M/R) · dm
L’énergie cinétique T d’un point matériel M de masse élémentaire dm en mouvement
par rapport à R est telle que : 2T (M/R) = #– p (M/R) ·
#–
V (M/R). Considérons maintenant, non plus un point matériel, mais un solide continu S, l’expression précédente se
généralise au solide continu indéformable en introduisant la notion de torseur cinétique
C(S/R)
:
2T (M/R) =
C(S/R)
·
V(S/R)
où le torseur cinématique
V(S/R)
représente le champ des vitesses des points M
du solide S, et où les composantes du torseur cinétique
C(S/R)
sont la résultante
94
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 94 — #104
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b) Composition des vecteurs accélération
Soit un point P, appartenant à un solide S 2 , en mouvement à la fois par rapport à un
repère R 1 (O 1 , #– x 1 , #– y 1 , #– z 1 ) et par rapport à un repère R(O, #– x , #– y , #– z ). On va chercher
maintenant la relation entre les vecteurs accélération
#–
G (P/R 1 ) et
#–
G (P/R). Il a été
montré aux paragraphes précédents que :
#–
V (P/R) =
#–
V (P/R 1 ) +
#–
V (P ∈ R 1 /R) ce
qui s’écrit aussi :
#–
V (P/R) =
#–
V (P/R 1 ) +
#–
V (O 1 ∈ R 1 /R) +
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
# –
O 1 P. Par
dérivation de chaque terme et quelques manipulations on arrive à la relation :
#–
G (P/R) =
#–
G (P/R 1 ) +
#–
G (P ∈ R 1 /R) + 2
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
#–
V (P/R 1 )
Dans le mouvement du point P par rapport aux repères R et R 1 , on appelle :
• vecteur accélération absolue :
#–
G (P/R).
• Vecteur accélération relative :
#–
G (P/R 1 ).
• Vecteur accélération d’entraînement :
#–
G (P ∈ R 1 /R).
• Vecteur accélération de Coriolis : 2
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
#–
V (P/R 1 ).
4.2 CINÉTIQUE
4.2.1 Torseur cinétique
Pour un point matériel M de masse élémentaire dm la quantité de mouvement associée au mouvement de ce point par rapport à un référentiel du mouvement R est :
#– p (S/R) =
#–
V (M/R)dm. Considérons maintenant non plus un point matériel, mais un
solide continuS, la résultante cinétique est alors définie comme suit, à l’instant t :
#– p (S/R) =
∀M∈S
#–
V (M/R) · dm
L’énergie cinétique T d’un point matériel M de masse élémentaire dm en mouvement
par rapport à R est telle que : 2T (M/R) = #– p (M/R) ·
#–
V (M/R). Considérons maintenant, non plus un point matériel, mais un solide continu S, l’expression précédente se
généralise au solide continu indéformable en introduisant la notion de torseur cinétique
C(S/R)
:
2T (M/R) =
C(S/R)
·
V(S/R)
où le torseur cinématique
V(S/R)
représente le champ des vitesses des points M
du solide S, et où les composantes du torseur cinétique
C(S/R)
sont la résultante
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