4.1. Cinématique du solide indéformable
égalité par rapport à t dans le repère R 1 . On en déduit (après quelques calculs) la formule
de changement de point du champ des vecteurs accélérations d’un solide :
#–
G (B ∈ S 2 /R 1 ) =
#–
G (A ∈ S 2 /R 1 )
+
d
#–
V(S 2 /R 1 )
dt
R 1
∧
# –
AB +
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
# –
AB
.
Ainsi, le champ des vecteurs accélérations des points d’un solide ne peut pas être
représenté par un torseur, du fait de l’existence du dernier terme. Ce point est très
important et marque la différence entre champ des vitesses et des accélérations.
4.1.3 Composition des mouvements
x
y
z
x 1
y 1
z 1
x 2
y 2
z 2
P
O
O 1
O 2
Solide en mouvement
Soit un point P, appartenant à un solide
S 2 , en mouvement à la fois par rapport
à un repère R 1 (O 1 , #– x 1 , #– y 1 , #– z 1 ) et par
rapport à un repère R(O, #– x , #– y , #– z ). On
va chercher la relation entre les vecteurs
vitesses
#–
V (P/R 1 ) et
#–
V (P/R), ainsi que
la relation entre les vecteurs accélération
#–
G (P/R 1 ) et
#–
G (P/R). Ces relations, dites
« de composition du mouvement », sont
particulièrement utiles lorsqu’on étudie des mécanismes dans lesquels les mouvements
relatifs mutuels des pièces sont connus, mais pas la cinématique d’ensemble du
mécanisme.
a) Composition des vecteurs vitesse
On cherche à définir en premier lieu la relation entre
#–
V (P/R) et
#–
V (P/R 1 ). On a :
#–
V (P/R) =
d
# –
O P
dt
R
et
#–
V (P/R 1 ) =
d
# –
O 1 P
dt
R 1
On peut écrire :
#–
V (P/R) =
#–
V (P/R 1 ) +
#–
V (O 1 ∈ R 1 /R) +
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
# –
O 1 P. Si
maintenant on considère le point de R 1 qui coïncide avec P à l’instant t on peut écrire :
#–
V (P ∈ R 1 /R) =
#–
V (O 1 ∈ R 1 /R) +
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
# –
O 1 P. Donc :
#–
V (P/R) =
#–
V (P/R 1 ) +
#–
V (P ∈ R 1 /R)
Dans le mouvement du point P par rapport aux deux repères R et R 1 , on appelle
(par convention) : (1) vecteur vitesse absolue
#–
V (P/R), (2) vecteur vitesse relative
#–
V (P/R 1 ) et (3) vecteur vitesse d’entraînement
#–
V (P ∈ R 1 /R).
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
93
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 93 — #103
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égalité par rapport à t dans le repère R 1 . On en déduit (après quelques calculs) la formule
de changement de point du champ des vecteurs accélérations d’un solide :
#–
G (B ∈ S 2 /R 1 ) =
#–
G (A ∈ S 2 /R 1 )
+
d
#–
V(S 2 /R 1 )
dt
R 1
∧
# –
AB +
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
# –
AB
.
Ainsi, le champ des vecteurs accélérations des points d’un solide ne peut pas être
représenté par un torseur, du fait de l’existence du dernier terme. Ce point est très
important et marque la différence entre champ des vitesses et des accélérations.
4.1.3 Composition des mouvements
x
y
z
x 1
y 1
z 1
x 2
y 2
z 2
P
O
O 1
O 2
Solide en mouvement
Soit un point P, appartenant à un solide
S 2 , en mouvement à la fois par rapport
à un repère R 1 (O 1 , #– x 1 , #– y 1 , #– z 1 ) et par
rapport à un repère R(O, #– x , #– y , #– z ). On
va chercher la relation entre les vecteurs
vitesses
#–
V (P/R 1 ) et
#–
V (P/R), ainsi que
la relation entre les vecteurs accélération
#–
G (P/R 1 ) et
#–
G (P/R). Ces relations, dites
« de composition du mouvement », sont
particulièrement utiles lorsqu’on étudie des mécanismes dans lesquels les mouvements
relatifs mutuels des pièces sont connus, mais pas la cinématique d’ensemble du
mécanisme.
a) Composition des vecteurs vitesse
On cherche à définir en premier lieu la relation entre
#–
V (P/R) et
#–
V (P/R 1 ). On a :
#–
V (P/R) =
d
# –
O P
dt
R
et
#–
V (P/R 1 ) =
d
# –
O 1 P
dt
R 1
On peut écrire :
#–
V (P/R) =
#–
V (P/R 1 ) +
#–
V (O 1 ∈ R 1 /R) +
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
# –
O 1 P. Si
maintenant on considère le point de R 1 qui coïncide avec P à l’instant t on peut écrire :
#–
V (P ∈ R 1 /R) =
#–
V (O 1 ∈ R 1 /R) +
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
# –
O 1 P. Donc :
#–
V (P/R) =
#–
V (P/R 1 ) +
#–
V (P ∈ R 1 /R)
Dans le mouvement du point P par rapport aux deux repères R et R 1 , on appelle
(par convention) : (1) vecteur vitesse absolue
#–
V (P/R), (2) vecteur vitesse relative
#–
V (P/R 1 ) et (3) vecteur vitesse d’entraînement
#–
V (P ∈ R 1 /R).
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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