Chapitre 4 • Mécanique des solides indéformables
vecteur se déplacer car son repère naturel est Mars. C’est le sens de la notation
d #– ∗
dt
R
qui stipule que #– ∗ est dérivé par rapport à R.
La vitesse d’un point B quelconque du solide S 2 peut donc se calculer à partir de la
vitesse d’un point A de S 2 et de la vitesse de rotation du solide par rapport au référentiel
du mouvement. Le champ des vecteurs vitesses des points du solide S 2 par rapport à R 1
peut être représenté par un torseur, dit torseur cinématique, noté {V} (V comme vitesse)
dont la résultante est la vitesse de rotation de la base B 2 par rapport à la base B 1 et le
moment en un point A, la vitesse du point A appartenant au solide S 2 , par rapport au
repère R 1 :
V(S 2 /R 1 )
=
#–
V(S 2 /R 1 )
#–
V (A ∈ S 2 /R 1 )
A
(4.1)
Comme le champ des vecteurs vitesses d’un solide se représente par un torseur, c’est
un champ équiprojectif. Ceci signifie que quels que soient deux points A et B d’un
solide S 2 :
∀A, ∀B ∈ S 2
# –
AB ·
#–
V (A ∈ S 2 /R 1 ) =
# –
AB ·
#–
V (A ∈ S 2 /R 1 ).
Cette propriété se déduit du champ de moment projeté (produit scalaire) sur
# –
AB.
Nous insistons sur la propriété importante d’équivalence entre champ équiprojectif et
champ de moment de torseur.
D’après ce qui a été dit plus haut, la dérivée des vecteurs unitaires ( #– x 2 , #– y 2 , #– z 2 ) de la
base du repère R 2 par rapport au référentiel R 1 , se calcule comme suit :
d #– x 2
dt
R 1
=
#–
V(R 2 /R 1 ) ∧ #– x 2 .
On en déduit alors, si l’on connaît les dérivées des vecteurs unitaires :
#–
V(S 2 /R 1 ) = #– x 2 ∧
d #– x 2
dt
R 1
+ #– y 2 ∧
d #– y 2
dt
R 1
+ #– z 2 ∧
d #– z 2
dt
R 1
.
4.1.2 Champ des vecteurs accélération des points d’un solide
Supposons un référentiel du mouvement R 1 et un solide S 2 en mouvement par rapport
à ce référentiel, auquel est attaché un repère R 2 . La base attachée à R 2 a une vitesse de
rotation
#–
V par rapport à la base attachée à R 1 . Supposons deux points quelconques A
et B du solide S 2 , alors :
∀A, B ∈ S 2
#–
V (B ∈ S 2 /R 1 ) =
#–
V (A ∈ S 2 /R 1 ) +
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
# –
AB.
La relation entre les vecteurs accélération des points A et B du solide S 2 dans son
mouvement par rapport au repère R 1 , s’obtient en dérivant les deux membres de cette
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 92 — #102
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vecteur se déplacer car son repère naturel est Mars. C’est le sens de la notation
d #– ∗
dt
R
qui stipule que #– ∗ est dérivé par rapport à R.
La vitesse d’un point B quelconque du solide S 2 peut donc se calculer à partir de la
vitesse d’un point A de S 2 et de la vitesse de rotation du solide par rapport au référentiel
du mouvement. Le champ des vecteurs vitesses des points du solide S 2 par rapport à R 1
peut être représenté par un torseur, dit torseur cinématique, noté {V} (V comme vitesse)
dont la résultante est la vitesse de rotation de la base B 2 par rapport à la base B 1 et le
moment en un point A, la vitesse du point A appartenant au solide S 2 , par rapport au
repère R 1 :
V(S 2 /R 1 )
=
#–
V(S 2 /R 1 )
#–
V (A ∈ S 2 /R 1 )
A
(4.1)
Comme le champ des vecteurs vitesses d’un solide se représente par un torseur, c’est
un champ équiprojectif. Ceci signifie que quels que soient deux points A et B d’un
solide S 2 :
∀A, ∀B ∈ S 2
# –
AB ·
#–
V (A ∈ S 2 /R 1 ) =
# –
AB ·
#–
V (A ∈ S 2 /R 1 ).
Cette propriété se déduit du champ de moment projeté (produit scalaire) sur
# –
AB.
Nous insistons sur la propriété importante d’équivalence entre champ équiprojectif et
champ de moment de torseur.
D’après ce qui a été dit plus haut, la dérivée des vecteurs unitaires ( #– x 2 , #– y 2 , #– z 2 ) de la
base du repère R 2 par rapport au référentiel R 1 , se calcule comme suit :
d #– x 2
dt
R 1
=
#–
V(R 2 /R 1 ) ∧ #– x 2 .
On en déduit alors, si l’on connaît les dérivées des vecteurs unitaires :
#–
V(S 2 /R 1 ) = #– x 2 ∧
d #– x 2
dt
R 1
+ #– y 2 ∧
d #– y 2
dt
R 1
+ #– z 2 ∧
d #– z 2
dt
R 1
.
4.1.2 Champ des vecteurs accélération des points d’un solide
Supposons un référentiel du mouvement R 1 et un solide S 2 en mouvement par rapport
à ce référentiel, auquel est attaché un repère R 2 . La base attachée à R 2 a une vitesse de
rotation
#–
V par rapport à la base attachée à R 1 . Supposons deux points quelconques A
et B du solide S 2 , alors :
∀A, B ∈ S 2
#–
V (B ∈ S 2 /R 1 ) =
#–
V (A ∈ S 2 /R 1 ) +
#–
V(S 2 /R 1 ) ∧
# –
AB.
La relation entre les vecteurs accélération des points A et B du solide S 2 dans son
mouvement par rapport au repère R 1 , s’obtient en dérivant les deux membres de cette
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