4.1. Cinématique du solide indéformable
x
x
y
y
z
z
z
u
u
u
u
v
v
v
w
w
w
ψ
ψ
˙
θ
ϕ
ϕ
θ
θ
˙
ϕ
˙
ϕ
x 1
x 1
y 1
y 1
z 1
z 1
z 1
Figure 4.1 Angles d’Euler
4.1.1 Cinématique du solide
O
x
y
z
S 1
S 2
P(t)
P 1 (t)
P 2 (t)
Soit un point P 1 d’un solide S 1 en mouvement par rapport au repère R. Les vecteurs vitesse et accélération du
point P 1 par rapport au repère R sont alors notés :
#–
V (P 1 ∈
S 1 /R) et
#–
G (P 1 ∈ S 1 /R). Cette notation permet de préciser à quel solide appartient le point dont on suit le mouvement lorsque plusieurs espaces coïncident au même point.
Cela permet aussi de distinguer la vitesse d’un point appartenant à un solide, de la vitesse d’un point de l’espace n’appartenant à aucun solide,
comme le point de contact P entre les solides S 1 et S 2 . La vitesse du point P sera alors
notée :
#–
V (P/R).
Supposons un référentiel du mouvement R 1 d’origine O 1 et un solide S 2 en mouvement par rapport à ce référentiel, auquel est attaché un repère R 2 d’origine O 2 . La base
attachée à R 2 a une vitesse de rotation
#–
V(R 2 /R 1 ) par rapport à la base attachée à R 1 .
Supposons deux points quelconques A et B du solide S 2 , alors on peut écrire :
d
# –
AB
dt
R 1
=
#–
V(R 2 /R 1 ) ∧
# –
AB,
dont on déduit la formule de changement de point pour le champ des vecteurs vitesses
des points d’un solide :
∀A, ∀B ∈ S 2
#–
V (B ∈ S 2 /R 1 ) =
#–
V (A ∈ S 2 /R 1 ) +
#–
V(R 2 /R 1 ) ∧
# –
AB.
Remarque
Il est important de comprendre que la notion de dérivée d’un vecteur doit s’accompagner de la donnée du repère par rapport auquel on dérive. On comprend aisément
qu’un vecteur « attaché » à la Terre par exemple est vu comme fixe pour un observateur lui aussi fixe sur cette Terre mais le martien qui nous observe peut-être voit ce
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
91
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 91 — #101
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ϕ
ϕ
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ϕ
˙
ϕ
x 1
x 1
y 1
y 1
z 1
z 1
z 1
Figure 4.1 Angles d’Euler
4.1.1 Cinématique du solide
O
x
y
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S 1
S 2
P(t)
P 1 (t)
P 2 (t)
Soit un point P 1 d’un solide S 1 en mouvement par rapport au repère R. Les vecteurs vitesse et accélération du
point P 1 par rapport au repère R sont alors notés :
#–
V (P 1 ∈
S 1 /R) et
#–
G (P 1 ∈ S 1 /R). Cette notation permet de préciser à quel solide appartient le point dont on suit le mouvement lorsque plusieurs espaces coïncident au même point.
Cela permet aussi de distinguer la vitesse d’un point appartenant à un solide, de la vitesse d’un point de l’espace n’appartenant à aucun solide,
comme le point de contact P entre les solides S 1 et S 2 . La vitesse du point P sera alors
notée :
#–
V (P/R).
Supposons un référentiel du mouvement R 1 d’origine O 1 et un solide S 2 en mouvement par rapport à ce référentiel, auquel est attaché un repère R 2 d’origine O 2 . La base
attachée à R 2 a une vitesse de rotation
#–
V(R 2 /R 1 ) par rapport à la base attachée à R 1 .
Supposons deux points quelconques A et B du solide S 2 , alors on peut écrire :
d
# –
AB
dt
R 1
=
#–
V(R 2 /R 1 ) ∧
# –
AB,
dont on déduit la formule de changement de point pour le champ des vecteurs vitesses
des points d’un solide :
∀A, ∀B ∈ S 2
#–
V (B ∈ S 2 /R 1 ) =
#–
V (A ∈ S 2 /R 1 ) +
#–
V(R 2 /R 1 ) ∧
# –
AB.
Remarque
Il est important de comprendre que la notion de dérivée d’un vecteur doit s’accompagner de la donnée du repère par rapport auquel on dérive. On comprend aisément
qu’un vecteur « attaché » à la Terre par exemple est vu comme fixe pour un observateur lui aussi fixe sur cette Terre mais le martien qui nous observe peut-être voit ce
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 91 — #101
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