Chapitre 4 • Mécanique des solides indéformables
Un solide est dit indéformable lorsque - quels que soient les points A et B de ce
solide — la distance AB reste constante au cours du mouvement. On se limitera par la
suite à appeler « solide » un solide indéformable. On peut imaginer que, dans l’exemple
ci-dessous, les points A et B répondent bien à cette définition mais évidemment pas
ceux qui se situent dans la zone du choc.
L’étude du mouvement du solide S 2 par rapport au solide S 1 est identique à l’étude
du mouvement de l’espace R 2 attaché au solide S 2 par rapport à l’espace R 1 attaché au
solide S 1 .
A
B
http://www2.ac-lyon.fr
Positionner le solide S 2 par rapport au solide S 1 revient donc à positionner le repère
R 2 attaché au solide S 2 , par rapport au repère R 1 . La position du repère R 2 par rapport
à R 1 est complètement déterminée si l’on se fixe : (1) l’orientation de la base de R 2 par
rapport à celle de R 1 et (2) les coordonnées de l’origine O 2 du repère R 2 dans le repère
R 1 . Quel que soit le système de coordonnées choisi, trois paramètres indépendants sont
nécessaires pour positionner O 2 dans R 1 .
Dans un premier temps on cherche à définir l’orientation de la base ( #– x , #– y , #– z ) du
repère R 2 (O 2 , x, y, z) par rapport à la base ( #– x 1 , #– y 1 , #– z 1 ) du repère R 1 (O 1 , x 1 , y 1 , z 1 ).
Cette orientation est toujours définie par trois paramètres. La méthode présentée est
celle des angles d’Euler.
Les angles d’Euler correspondent à la composition de trois rotations planes successives qui permettent de faire coïncider la base ( #– x , #– y , #– z ) avec la base ( #– x 1 , #– y 1 , #– z 1 ). La
première rotation d’angle c, autour de l’axe (O, z 1 ) permet de passer à une première
base intermédiaire ( #– u , #– v , #– z 1 = #– z ). L’angle c est appelé « angle de précession ». Une
deuxième rotation d’angle u est alors appliquée autour de l’axe (O, #– u ), de la première
base intermédiaire, ce qui permet de définir une deuxième base intermédiaire ( #– u , #–
w, #– z 1 ).
L’angle u est appelé « angle de nutation ». Une dernière rotation d’angle f est appliquée
autour de l’axe (O, #– z 1 ) de la seconde base intermédiaire, ce qui permet de positionner
la base ( #– x 1 , #– y 1 , #– z 1 ). L’angle f est appelé « angle de rotation propre ». La composition
de rotations planes successives permet de dessiner des figures de projection qui sont
souvent très utiles pour la résolution des problèmes.
90
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 90 — #100
i
i
i
i
Un solide est dit indéformable lorsque - quels que soient les points A et B de ce
solide — la distance AB reste constante au cours du mouvement. On se limitera par la
suite à appeler « solide » un solide indéformable. On peut imaginer que, dans l’exemple
ci-dessous, les points A et B répondent bien à cette définition mais évidemment pas
ceux qui se situent dans la zone du choc.
L’étude du mouvement du solide S 2 par rapport au solide S 1 est identique à l’étude
du mouvement de l’espace R 2 attaché au solide S 2 par rapport à l’espace R 1 attaché au
solide S 1 .
A
B
http://www2.ac-lyon.fr
Positionner le solide S 2 par rapport au solide S 1 revient donc à positionner le repère
R 2 attaché au solide S 2 , par rapport au repère R 1 . La position du repère R 2 par rapport
à R 1 est complètement déterminée si l’on se fixe : (1) l’orientation de la base de R 2 par
rapport à celle de R 1 et (2) les coordonnées de l’origine O 2 du repère R 2 dans le repère
R 1 . Quel que soit le système de coordonnées choisi, trois paramètres indépendants sont
nécessaires pour positionner O 2 dans R 1 .
Dans un premier temps on cherche à définir l’orientation de la base ( #– x , #– y , #– z ) du
repère R 2 (O 2 , x, y, z) par rapport à la base ( #– x 1 , #– y 1 , #– z 1 ) du repère R 1 (O 1 , x 1 , y 1 , z 1 ).
Cette orientation est toujours définie par trois paramètres. La méthode présentée est
celle des angles d’Euler.
Les angles d’Euler correspondent à la composition de trois rotations planes successives qui permettent de faire coïncider la base ( #– x , #– y , #– z ) avec la base ( #– x 1 , #– y 1 , #– z 1 ). La
première rotation d’angle c, autour de l’axe (O, z 1 ) permet de passer à une première
base intermédiaire ( #– u , #– v , #– z 1 = #– z ). L’angle c est appelé « angle de précession ». Une
deuxième rotation d’angle u est alors appliquée autour de l’axe (O, #– u ), de la première
base intermédiaire, ce qui permet de définir une deuxième base intermédiaire ( #– u , #–
w, #– z 1 ).
L’angle u est appelé « angle de nutation ». Une dernière rotation d’angle f est appliquée
autour de l’axe (O, #– z 1 ) de la seconde base intermédiaire, ce qui permet de positionner
la base ( #– x 1 , #– y 1 , #– z 1 ). L’angle f est appelé « angle de rotation propre ». La composition
de rotations planes successives permet de dessiner des figures de projection qui sont
souvent très utiles pour la résolution des problèmes.
90
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 90 — #100
i
i
i
i