OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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(K1(x), ... , Kd(x)). On notera abusivement 'VK la matrice dont les
lignes sont les vecteurs '\/ K,;,, c'est-à-dire la matrice de coefficient ième
ligne, j-ème colonne 8Ki/8x3(x). Comme K est un difféomorphisme
local, cette matrice est inversible pour tout x E U.
Si f est une fonction à support dans U, on lui associe K*f à support
dans V définie par
K*f = j o K-1.
L'application K* ainsi définie admet comme inverse K*, définie par
K*j = j OK.
Proposition 5.1. Pour tout a E Gi)'°(V x JRd), on a
llK*Opli(a)K* - Opli(a o (T*K))ll 2 (L2(JRd)) = O(li),
avec
(33)
Démonstration. On remarque que si f est à support dans V,
K*Opli(a)K*f(x)
= (27rli)-d f a(!(K(x) + z),Ç)e*e·{K.{x)-z) f o K- 1 (z)dzdÇ.
1JR2d
Après changement de variable z = K(y), on voit que le noyau de cet
opérateur est la fonction
(34) kn(x, y)= (27rli)-dkd a(!(K(x)+K(y)), Ç )e!e·{K.{x)-iç(y)) Jiç(y)dÇ,
où Jiç est le jacobien du changement de variable,
Jiç(y) = ldét ('VK(y))I.
Écrivons
(35)
kn(x, y) = li-d Kn(!(x +y), h(x - y))
avec
Kn(X, v) = (27r)-d f e*e-(iç{X+liv/2)-iç(X-liv/2))
lJRd
X a(!(K(X + liv/2) + K(X - liv/2)),Ç)Jiç(X + liv/2)dÇ.
Ici encore, nous allons utiliser des formules de Taylor. Une formule
de Taylor à l'ordre 1 avec reste intégral permet d'écrire