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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
Il s'agit là de trois estimations élémentaires. Remarquons tout
d'abord qu'il existe une constante C2 telle que
C2J+N
IAo,21 ~ T -N (IG2(x + i8)1 + IG2(x - i8)1) dx ~ 4N C2 8.
Par ailleurs, la fonction () ayant été choisie paire, on peut écrire
IAo,11 = ~ L+: F'(x)8(~) 82 +x(: ~ ,\)2dxl
8
N->.
~ - sup IF'I sup 181 r-r - 1 u 2 du
7r (-N,N)
lR
j~ + U
8
,
(N - ,\) 2 + 8 2
~- 2 sup 1Flsupl81log({N ,\) 2 82 ),
7r (-N,N)
lR
+ +
ce qui donne la convergence vers 0 de A0,1 lorsque 8 tend vers O. Enfin,
toujours en utilisant la parité de (), on écrit
1 J+N
8
(
8 )
Ao,o =; -N F(x) (:i; - ,\)2+152() vfl + x2 dx
_ 1 { N"i>. F(,\ 8 ) (
8
) du
- ; }~
+ u X Jl+ {A+8u)2 1 +u 2
On a donc
1
J+oo du
Ao,O ----+ -F(,\) x(O)
- 1 2 = F(A),
Ô-+0 1f'
-oo + U
ce qui conclut la preuve.
5. Opérateurs pseudo-différentiels sur une variété
Avant d'esquisser la manière dont on étend la notion d'opérateurs pseudo-différentiels au cas d'une variété, nous commencerons
par étudier la transformation d'un opérateur pseudo-différentiel semiclassique par changement de variable. Cela nous permettra de mieux
comprendre la nature géométrique de l'espace des phases et de pouvoir étendre ce calcul au cas des variétés.
5.1. Opérateurs pseudo-différentiels et changement de variables
Soit K, un 0 1 difféomorphisme d'un voisinage u de Xo E Rd dans un
voisinage V de 0 E Rd. Six EU, r;,(x) est un vecteur de Rd, r;,(x) =