OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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d'où le nom de prolongement presque analytique, puisqu'il est« analytique » ( {}zF = 0) sur la droite réelle.
Il reste à vérifier que la fonction F vérifie bien l'équation (29). Pour
cela, on va utiliser un domaine auxiliaire. On choisit C > 0 tel que
Supp(F) C {z = x+iy E Cl lxl ~ C, IYI ~ C}
et on définit no pour ô > 0 par
no= {z =X+ iy E cl lxl ~ c, ô < IYI < C}.
On a alors
_.!_ f ~ F(z)(À - z)- 1 dz, = _.!_ lim f ~ F(z)(À - z)- 1 dz.
7r Je ôz
7r o-to ln 6 ôz
Par ailleurs, en remarquant que an0 ne rencontre le support de F
que le long de deux segments, la formule de Stokes nous donne
- .!. f ~ F(z)(À - z)- 1 dz
7r 1n 6 ôz
= 2 i l+N (F(x + iô)(À - x - iô)- 1 - F(x - iô)(À - x + iô)- 1 ) dx,
7r -N
pour un certain N E R+ qui peut être pris de sorte que IÀI < N.
Lorsque l'on remplace F par l'expression (32), on voit apparaître la
somme de trois termes
_.!_ f ! F(z)(À - z)- 1 dL(z) = A0 0 + A01 + Ao2
7r ln 6 uz
'
'
'
où, pour j E {O, 1, 2},
· 1+N
AoJ = 2 ~ -N [(Gj(x+io)(x+io-À)- 1 -Gj(x-iô)(x-iô-À)- 1 ]dx
avec pour tout (x,y) E R 2 ,
Go(x + iy) = F(x)x(x, y),
G1(x + iy) = iyF'(x)x(x,y),
G2(x + iy) = O(IYl 2 ).
L'équation (29) vient alors de l'observation.
Aoo--+ F(À), A01--+ 0, Ao2--+ O.
' o-to
' o-to
' o-to
La preuve de ces trois limites conclut donc la démonstration de la
proposition 4.8.
D