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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
avec
llRnll2cL2)
~ C ( sup sup llâf bi(x, •)llv(JRd)) ( sup sup llâf b2(x, •)llL1(JRd))
l.Bl~N xEJRd
l.Bl~N xEJRd
pour un certain NE N. Nous allons appliquer cette formule à bi =
a- z et b2 =(a- z)-i; ces symboles ne sont pas à support compact
mais génèrent néanmoins des opérateurs bornés (avec des bornes dépendant de z) et à qui on peut appliquer le calcul symbolique. Ceci
permet d'écrire, pour tout z E C ' JR,
Opli(a - z)Opn((a - z)-i) = Opn(l) + fiRn = ld+fiRn,
avec llRnll2(L2) ~ 1 Im(z)l-N 1 pour un certain Ni EN. En conjuguant
cette équation par la résolvante (Opli(a) - z)-i, on en déduit grâce
à (31)
Opn((a - z)-i) = (Opli(a) - z)-i + fiRn = (Opli(a - z))-i + fiRn,
avec llRnl12(L2) ~Cl Im(z)l-Ni-i. En choisissant No >Ni dans (28),
la formule d'Helffer-Sjôstrand (30) donne alors
F(Opli(a)) = _.!_ f !,.F(z) Opn((a - z)-i) dz + O(fi)
7r le uz
= Opn( - ~ k ! F(z)(a - z)-i dz) + O(fi)
= Opli (F(a)) + O(fi).
D
Il reste à démontrer la proposition 4.8.
Démonstration. Soit F, la fonction de C dans C définie par
(32)
\f (x, y) E R', F(x + iy) = ( ~ F(k) (x) ( i:t) x(x, y)
où x(x, y) = (} (y/../1 + x 2 ) pour une fonction(}, paire, qui vaut 1 sur
[-1, 1] et 0 sur l'intervalle] - oo, -2] U [2, +oo[. On remarquera que
âF = ! ( ~ p(k)(x) (iyt) (âxx + iÔyX) + !p(No+l)(x) (iyt X·
Oz
2 k=O
k.
2
n.
On en déduit que lorsque y -+ 0, pour tout x E JR,
1 !F(x + iy)' = O(IYIN°),