OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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elle est alors analytique. On va donc chercher à étendre F au plan
complexe en étant compatible autant que possible avec cette structure analytique. Comme on va construire un prolongement à support
compact et qu'il n'existe pas de fonctions analytiques à support compact autres que la fonction nulle, ce prolongement F sera appelé
prolongement presque analytique au sens où âF/Erz s'annulera sur la
droite réelle à un ordre aussi élevé que souhaité. Plus précisément, on
démontre la proposition qui suit.
Proposition 4.8 ([HS89] et [Dav95]). Soit F E Ci)"'(IR). Pour tout
No EN, il existe un prolongement presque analytique, c'est-à-dire une
fonction F E Ci)"'(C) coïncidant avec F sur IR et telle que l'on ait
l'estimation
(28)
et l'égalité
(29)
V>.. E IR,
1 k â -
1
F(>..) = - -
= F(z)(>.. - z)- dz,
7r 1C uz
où dz est la mesure de Lebesgue sur C {dz = dxdy où z = x + iy).
La formule (29) est appelée formule de Helffer-Sjôstrand. Nous renvoyons à la fin de ce p~ragraphe pour la preuve de la proposition 4.8
et la construction de F et démontrons maintenant le théorème 4.7.
Démonstration. Soit maintenant a E Ci)"' (JR 2 d) à valeurs réelles. L'opérateur Opn(a) est alors auto-adjoint par (14) et, par le théorème spectral ainsi que la formule (30), on peut écrire
(30)
1 k â -
1
F(Opli(a)) = - -
= F(z) (Opli(a) - z)- dz.
7r 1C uz
En effet, si z E C' IR, l'opérateur Opli(a) - z est inversible et la
norme de la résolvante (Opli(a) - z)- 1 est contrôlée par la distance
de z au spectre qui est inclus dans IR :
(31)
3C>O, ll(Opn(a)-z)- 1 il~(L2(JRd):::;;CIIm(z)l- 1 .
En choisissant No suffisamment grand dans (28), l'intégrale (30) est
bien définie.
Nous allons maintenant utiliser les formules de calcul symbolique.
Pour deux symboles b1 et b2, on a
Opn(b1)0pn(b2) = Opn(b1b2) + lïRn dans Z(L 2 (IRd))
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elle est alors analytique. On va donc chercher à étendre F au plan
complexe en étant compatible autant que possible avec cette structure analytique. Comme on va construire un prolongement à support
compact et qu'il n'existe pas de fonctions analytiques à support compact autres que la fonction nulle, ce prolongement F sera appelé
prolongement presque analytique au sens où âF/Erz s'annulera sur la
droite réelle à un ordre aussi élevé que souhaité. Plus précisément, on
démontre la proposition qui suit.
Proposition 4.8 ([HS89] et [Dav95]). Soit F E Ci)"'(IR). Pour tout
No EN, il existe un prolongement presque analytique, c'est-à-dire une
fonction F E Ci)"'(C) coïncidant avec F sur IR et telle que l'on ait
l'estimation
(28)
et l'égalité
(29)
V>.. E IR,
1 k â -
1
F(>..) = - -
= F(z)(>.. - z)- dz,
7r 1C uz
où dz est la mesure de Lebesgue sur C {dz = dxdy où z = x + iy).
La formule (29) est appelée formule de Helffer-Sjôstrand. Nous renvoyons à la fin de ce p~ragraphe pour la preuve de la proposition 4.8
et la construction de F et démontrons maintenant le théorème 4.7.
Démonstration. Soit maintenant a E Ci)"' (JR 2 d) à valeurs réelles. L'opérateur Opn(a) est alors auto-adjoint par (14) et, par le théorème spectral ainsi que la formule (30), on peut écrire
(30)
1 k â -
1
F(Opli(a)) = - -
= F(z) (Opli(a) - z)- dz.
7r 1C uz
En effet, si z E C' IR, l'opérateur Opli(a) - z est inversible et la
norme de la résolvante (Opli(a) - z)- 1 est contrôlée par la distance
de z au spectre qui est inclus dans IR :
(31)
3C>O, ll(Opn(a)-z)- 1 il~(L2(JRd):::;;CIIm(z)l- 1 .
En choisissant No suffisamment grand dans (28), l'intégrale (30) est
bien définie.
Nous allons maintenant utiliser les formules de calcul symbolique.
Pour deux symboles b1 et b2, on a
Opn(b1)0pn(b2) = Opn(b1b2) + lïRn dans Z(L 2 (IRd))