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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
déterminée par les k valeurs propres distinctes de A, À1 < · · · < Àk :
E(>.) = L ô(>. - >.3),
1:;;;,3:;;;,k
et, pour j E {1, ... , k}, le projecteur R(>.3) n'est rien d'autre que le
projecteur sur le sous-espace propre associé à >.3. Dans le cas général,
la structure de la mesure E(>.) est plus compliquée.
Toujours dans le cas .7't' = Cd, si F est une fonction continue sur lR
et à valeurs dans C, on définit la matrice F(A) par
F(A) = L F(>.3)R(>.3).
1:;;;,3:;;;,k
De même, dans le cas général, on définit l'opérateur F(P) par la
formule
F(P) = k F(>.)R(>.)dE(>.).
Nous renvoyons au livre [Dav95] pour une présentation du calcul fonctionnel pour les opérateurs auto-adjoints.
Nous avons vu dans la section précédente que, lorsque le symbole a
est à valeurs réelles, l'opérateur Opli(a) est un opérateur auto-adjoint.
Il est donc légitime de se demander ce qui reste de la nature pseudodifférentielle de l'opérateur, une fois qu'on l'a transformé par le calcul
fonctionnel. C'est à cette question que répond le théorème suivant.
Théorème 4.7. Soit a E Ci)"'(JR 2 d) à valeurs réelles et F E Ci)"'(JR).
Soit F(Opli(a)) l'opérateur associé par le calcul fonctionnel. Alors
dans 2(L 2 (JRd))
F(Opli(a)) = Opli(F(a)) + O(li).
Ce théorème repose sur la formule de Helffer-Sjostrand qui sera
décrite dans la proposition 4.8 ci-dessous. L'idée sous-jacente à cette
formule consiste à étendre la fonction F en une fonction F définie
sur le plan complexe et comportant de bonnes propriétés. Par là, on
pense bien entendu au fait d'admettre des dérivées partielles en x
ou en y, mais aussi à des propriétés liées à la structure complexe.
Rappelons qu'à une fonction d'une variable complexe F, on associe
ai'·- 1 (ai' .ai')
âZ .- 2 ax + i ay ·
Une fonction F qui est une fonction de C 1 (JR 2 ) en tant que fonction
des variables X et y et qui vérifie a F /Oz = 0 est dite holomorphe,