OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
83
lorsque fi tend vers O. La preuve de [GL93] consiste à étudier la transformée de Wigner de la famille (Jli)n>o, et à démontrer que l'unique
mesure semi-classique de cette famille est
µ(x,Ç) = l9(x)l 2 dx ® ô(Ç- dS(x)).
Une fois démontré que la famille (fli)n>o est fi-oscillante, le résultat (iii) de la proposition 4.6 implique que toute limite faible
de (Jli)li>O est nulle sous la condition dS =f. 0 presque partout. C'est
une preuve relativement simple d'un résultat que la faible régularité
supposée sur la fonction S rend difficile à démontrer. Nous renvoyons
le lecteur intéressé à l'article [GL93].
4.4. Application 3 : calcul fonctionnel
Notre deuxième application du calcul symbolique concerne le calcul
fonctionnel qui permet d'associer à certains opérateurs P un autre
opérateur cp(A) obtenu comme «fonction» de P par une fonction
continue cp. Une fois établi un tel processus, et dans le cas où P est
un opérateur pseudo-différentiel, on peut se demander s'il en est de
même de l'opérateur cp(P).
Rappelons qu'un opérateur P défini sur un espace de Hilbert .Yé' est
dit auto-adjoint s'il est égal à son adjoint, P = P*. Un tel opérateur
a un spectre réel :
sp(P) ={À E C 1 P- Àld est inversible} c :IR.
Pour les opérateurs auto-adjoints, il existe un théorème spectral qui
joue le rôle du théorème de diagonalisation des matrices hermitiennes.
Ce théorème permet de décrire un opérateur auto-adjoint P grâce à
une mesure E(À) sur :IR supportée par le spectre de P et appelée
mesure spectrale de P, et à une famille de projecteurs R(À), appelés
projecteurs spectraux. On écrit
P = k ÀdE(À)R(À)
et on a alors
V f E L 2 (Rd), Pf = k R(À)fÀdE(À).
Dans le cas de l'espace de Hilbert .Yé' = Cd, un opérateur autoadjoint est donné par une matrice hermitienne A et la mesure E(À) est
83
lorsque fi tend vers O. La preuve de [GL93] consiste à étudier la transformée de Wigner de la famille (Jli)n>o, et à démontrer que l'unique
mesure semi-classique de cette famille est
µ(x,Ç) = l9(x)l 2 dx ® ô(Ç- dS(x)).
Une fois démontré que la famille (fli)n>o est fi-oscillante, le résultat (iii) de la proposition 4.6 implique que toute limite faible
de (Jli)li>O est nulle sous la condition dS =f. 0 presque partout. C'est
une preuve relativement simple d'un résultat que la faible régularité
supposée sur la fonction S rend difficile à démontrer. Nous renvoyons
le lecteur intéressé à l'article [GL93].
4.4. Application 3 : calcul fonctionnel
Notre deuxième application du calcul symbolique concerne le calcul
fonctionnel qui permet d'associer à certains opérateurs P un autre
opérateur cp(A) obtenu comme «fonction» de P par une fonction
continue cp. Une fois établi un tel processus, et dans le cas où P est
un opérateur pseudo-différentiel, on peut se demander s'il en est de
même de l'opérateur cp(P).
Rappelons qu'un opérateur P défini sur un espace de Hilbert .Yé' est
dit auto-adjoint s'il est égal à son adjoint, P = P*. Un tel opérateur
a un spectre réel :
sp(P) ={À E C 1 P- Àld est inversible} c :IR.
Pour les opérateurs auto-adjoints, il existe un théorème spectral qui
joue le rôle du théorème de diagonalisation des matrices hermitiennes.
Ce théorème permet de décrire un opérateur auto-adjoint P grâce à
une mesure E(À) sur :IR supportée par le spectre de P et appelée
mesure spectrale de P, et à une famille de projecteurs R(À), appelés
projecteurs spectraux. On écrit
P = k ÀdE(À)R(À)
et on a alors
V f E L 2 (Rd), Pf = k R(À)fÀdE(À).
Dans le cas de l'espace de Hilbert .Yé' = Cd, un opérateur autoadjoint est donné par une matrice hermitienne A et la mesure E(À) est