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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
En passant à la limite n-+ +oo, on obtient pour tout R > 0,
liminf f cp(x)lflin(x)l 2 dx ~ f cp(x)x(f./R)µ(dx,dÇ),
n-Hoo }Rd
}R.2d
d'où le résultat en faisant tendre R vers +oo.
(ii) On remarque que la condition de li-oscillation implique que
pour la fonction x précédente, on a
limsup I Jlin, cp(x) (1- x (!;,,,,D/R)) Jlin) -+ O.
n~+oo \
R~+oo
On obtient donc le résultat annoncé en faisant tendre n puis R vers
l'infini dans l'égalité
kd cp(x)lflin (x)l 2 dx = (!lin, cp(x)x (!;,,,,D / R) Jlin)
+ (!lin, cp(x)(l - X (!;,,,,D / R)) Jlin)
= (!lin, Oplin (cp(x)x (Ç/ R)) Jlin) + O(!;,,,,)
+ (Jlin, cp(x) (1- X (!;,,,,D/R)) Jlin)
(iii) On pose gn = fn, - f et on écrit pour a E Ci)"'(JR 2 d),
(glin, Oplin(a)glin) = (1) + (2) + (3)
avec
(1) = (Jlin,Opn,(a)Jlin) -+ f a(x,Ç)µ(dx,dÇ);
n~+oo }R.2d
(2) = (!, Oplin (a)f) - (!lin, Oplin (a)f) -+ 0
n~+oo
(3) = (f,Oprin(a)Jlin) = (Oplin(a)J,Jlin) +0(!;,,,,)
-+ f Ja(x,O)lf(x)l 2 dx.
n~+oo }Rd
On en déduit que la mesure µ(x,Ç)-lf(x)l 2 dx®ô(Ç) est une mesure
semi-classique de la famille (gn)n>O et est donc une mesure positive,
on en déduit la relation (27).
D
Une application intéressante de la proposition 4.6 est proposée dans
l'article [GL93]. Soit (} E L 2 (JRd) et S une fonction localement intégrable dont la dérivée au sens des distributions est aussi localement
intégrable. On suppose que dS =/= 0 presque partout, alors on peut
montrer que la suite fn,(x) = eiB(x)/no(x) converge faiblement vers 0