OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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L'utilisation des mesures semi-classiques s'est généralisée dans les
années 1990 avec les articles [LP93] ou [GL93] (voir aussi [GMMP97]).
Leur emploi a permis récemment de montrer d'importants résultats
sur la densité de suites de fonctions propres du laplacien sur le tore
(voir [AM14]). En effet, on peut relier les mesures semi-classiques
aux limites faibles des densités de probabilité de présence comme le
montre la proposition suivante.
Proposition 4.6. Soitµ une mesure semi-classique de la famille (Ili)
pour la sous-suite li,,,.
(i) Pour tout cp E C8°(JRd),
liminf f cp(x)lflin(x)l 2 dx ~ f cp(x)µ(dx, de).
n-Hoo }Rd
}J!l..2d
(ii) Si (Jli)li>o est fi-oscillante, c'est-à-dire si
limsup f
lfi(e)l 2 de ----+ 0,
li--tO 11el>R/li
R--t+oo
alors pour tout cp E C8° (Rd),
liminf [ cp(x)lflin(x)l 2 dx = [ cp(x)µ(dx, de).
n--t+oo }Rd
}J!l..2d
(iii) Si Jlin converge faiblement vers f lorsque n tend vers +oo,
c'est-à-dire si elle vérifie
V g E L2(Rd), (!lin, g) n~oo (!, g),
alors
[ a(x, e)dµ(x, e) ~ [ a(x, O)lf(x)l 2 dx.
}J!l..2d
}J!l..d
On notera ô(e) ® lf(x)l 2 dx la mesure définie par le membre de
droite de l'équation (27).
Démonstration.
(i) On utilise la fonction x introduite dans la preuve du théorème 4.5. On écrit pour R > 0,
kd cp(x)lflin (x)l 2 dx ~ (!lin, cp(x)x (!i,,,D / R) /lin)
~ (!lin, Oplin (cp(x)x (e/ R)) Jlin) + O(!i,,,).