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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
Toute mesureµ vérifiant (26) pour une certaine suite (hn)neN est
appelée mesure de Wigner ou mesure semi-classique de la famille
(Jli)n>O· Une famille donnée peut donc avoir plusieurs mesures semiclassiques. On remarquera que les suites ( UJi) et ( VJi) étudiées dans
l'introduction admettent chacune une unique mesure semi-classique
que l'on notera µu et µv et qui vérifient pour tout a E C8°(R 2 d),
[ a(x, Ç)dµu(x, Ç) = (27r)-d [ a(xo, Ç)l~(Ç)l 2 dÇ
1JR2d
}R_d
[ a(x, Ç)dµv(x, Ç) = [ a(x, Ço)l(x)l 2 dx.
}R_2d
}R_d
Pour chacune de ces deux familles, on voit apparaître les points d'obstruction à la convergence forte dans le support de sa mesure semiclassique. Nous nous concentrons maintenant sur la preuve du théorème 4.5.
Démonstration. La quantité
h(a) = (!li, Opli(a)fli}
étant bornée en li pour toute fonction a E C8°(JR 2 d), on peut en
extraire une sous suite convergente I lin.,a (a). En considérant une partie
dénombrable dense de l'ensemble C8°(R 2 d) et en utilisant un principe
d'extraction diagonal, on construit une suite lin pour laquelle !lin (a)
a une limite pour tout a E C8°(R 2 d). L'application qui associe à a la
limite I(a) de la suite Ilin.(a) est une forme linéaire sur C8°(R 2 d) et
l'inégalité de Gârding montre que cette forme linéaire est positive.
Par ailleurs, en considérant une fonction x E C8°(R) telle que
0 ~ X ~ 1, x(u) = 0 pour lul ~ 2 et x(u) = 1 pour lul ~ 1, on
obtient par le lemme de Fatou
'V R > 0, I(l) ~ I(x(x 2 + ç2 /R)) ~ C,
où C est une constante strictement positive. On a donc I(l) < oo et
la positivité de I donne
\;/a E q)(R 2 d), I(llallLoo(R_2d) - a) ~ 0,
ce qui implique un contrôle de type mesure de la quantité I(a) :
Va E CQ'°(JR 2 d), l(a) ~ C llallLoo(R.2d)·
La forme linéaire I définit donc une mesure de Radon positive µ
sur JR 2 d.
D