OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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Sous les hypothèses de la proposition ci-dessus, on peut démontrer
l'inégalité suivante :
3 c > 0, V f E L 2 (Rd), (!, Opli(a)f) ~ -Cli 2 llflli2cRd)•
Cette inégalité est connue sous le nom d'inégalité de Fefferman-Phong
(voir [Zwo12] pour une preuve détaillée). Comme nous le verrons cidessous, la version faible que nous avons énoncée dans la proposition 4.4 se démontre de façon élémentaire et permet déjà d'obtenir
des résultats intéressants à la limite li-+ O.
Démonstration. La proposition repose sur l'observation que si a~ 0,
on peut lui associer une « presque racine carrée » en considérant une
fonction x E C8°(R 2 d) telle que x = 1 sur le support de a et en posant
pour 5 > 0
- 1/2
b;s(x, Ç) = x(x, Ç) ( a(x, Ç) + ô) .
On obtient ainsi une fonction ~ E C8° (JR 2 d) telle que
2
- 2
b;s(x, Ç) = a(x, Ç) + ô X (x, Ç).
Le calcul symbolique donne alors dans .2(L 2 (JR.d)),
Opn(~)*Opn(bo) = Opn(a) + 5 Opn(x 2 (x, Ç)) + O(li 2 ).
Considérons maintenant ô > 0 et ajustons 5 de sorte que
-
2
ô llOPn(X (x,Ç))i12(L2(JRd)) ~ ô,
on obtient alors pour f E L 2 (JRd),
0 ~ ll0Pn(~)fll 2 = (!, Opn(~)*Opli(bo)f)
-
2
(2 2 )
= (!, Opli(a)f) + ô(f, Opn(X (x, Ç))J) + 0 li llfllL2(JRd)
~ (!, Opn(a)f) + ôllflli2cJRd) + o ( li 2 llflli2cJRd)) .
D'où le résultat.
D
Un corollaire important de l'inégalité de Garding est la positivité
des limites faibles des transformées de Wigner.
Théorème 4.5. Soit (Jli)li>O une famille uniformément bornée dans
L 2 (Rd), il existe une suite (lin)nEN tendant vers 0 lorsque n tend vers
l'infini et une mesure de Radon positive µ telle que
(26) VaECQ°(R 2 d), (Jlîn,Oplin(a)flîn) ---+ f a(x,Ç)dµ(x,Ç).
n-++oo }JR2d