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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
Corollaire 4.3. Soit wli(t), la transformée de Wigner de 'l/Jf, solution
de (22). Alors, pour tout a E C8°(R 2 d),
f a(x, Ç)wli(t, x, Ç)dx dÇ = f (2ta)(x, Ç)wli(o, x, Ç)dx dÇ + O(lï 2 1t1).
}H(2d
122d
En particulier, si ('lfJ8)1i>O a une unique mesure semi-classique µo,
alors (,,Pf)li>O a une unique mesure semi-classique µt définie par
Va E C8°(1R 2 d,
f a(x, Ç)dµt(x, Ç) = f (2ta)(x, Ç)dµo(x, Ç).
lnt2d
lnt2d
Le résultat du corollaire 4.3 ouvre la voie au développement de
méthodes numériques efficaces pour calculer la transformée de Wigner
de la famille (,,Pf)li>O en écrivant
f a(x,Ç)wli(t,x,Ç)dxdÇ rv f (2ta)(x,Ç)wli(o,x,Ç)dxdÇ,
la2d
lnt2d
et il suffit de connaître la transformée de Wigner de la fonction d'onde
au temps initial pour la calculer à un instant t donné sans avoir à
résoudre numériquement des équations dépendant du paramètre lï.
En effet, il existe des méthodes efficaces de résolution numérique permettant de calculer les trajectoires hamiltoniennes
de Schrodinger car la présence de 1ï dans (22) impose d'utiliser des pas
de discrétisation de très petite taille. Des méthodes de ce type ont été
développées en particulier dans [LR10, FL12] avec des applications
en chimie quantique. On trouvera aussi dans [Las12] des schémas numériques basés sur le théorème d 'Egorov et utilisant des termes de
correction issus d'une analyse fine du développement asymptotique
du commutateur dans le calcul symbolique.
4.3. Application 2 : inégalité de Garding
L'inégalité de Garding répond à la question du lien entre la positivité de la fonction a et la positivité de l'opérateur associé. Nous
démontrons ici une version faible de l'inégalité de Garding.
Proposition 4.4. Soit a E C8°(JR 2 d) tel que a ~ O. Alors, pour tout
ô > 0, il existe C0 > 0 tel que pour tout f E L 2 (Rd),
(!, Opli(a)f} ~ -(ô + Colï 2 )11Jlli2cntd)1 V f E L 2 (Rd).
CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
Corollaire 4.3. Soit wli(t), la transformée de Wigner de 'l/Jf, solution
de (22). Alors, pour tout a E C8°(R 2 d),
f a(x, Ç)wli(t, x, Ç)dx dÇ = f (2ta)(x, Ç)wli(o, x, Ç)dx dÇ + O(lï 2 1t1).
}H(2d
122d
En particulier, si ('lfJ8)1i>O a une unique mesure semi-classique µo,
alors (,,Pf)li>O a une unique mesure semi-classique µt définie par
Va E C8°(1R 2 d,
f a(x, Ç)dµt(x, Ç) = f (2ta)(x, Ç)dµo(x, Ç).
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Le résultat du corollaire 4.3 ouvre la voie au développement de
méthodes numériques efficaces pour calculer la transformée de Wigner
de la famille (,,Pf)li>O en écrivant
f a(x,Ç)wli(t,x,Ç)dxdÇ rv f (2ta)(x,Ç)wli(o,x,Ç)dxdÇ,
la2d
lnt2d
et il suffit de connaître la transformée de Wigner de la fonction d'onde
au temps initial pour la calculer à un instant t donné sans avoir à
résoudre numériquement des équations dépendant du paramètre lï.
En effet, il existe des méthodes efficaces de résolution numérique permettant de calculer les trajectoires hamiltoniennes
de Schrodinger car la présence de 1ï dans (22) impose d'utiliser des pas
de discrétisation de très petite taille. Des méthodes de ce type ont été
développées en particulier dans [LR10, FL12] avec des applications
en chimie quantique. On trouvera aussi dans [Las12] des schémas numériques basés sur le théorème d 'Egorov et utilisant des termes de
correction issus d'une analyse fine du développement asymptotique
du commutateur dans le calcul symbolique.
4.3. Application 2 : inégalité de Garding
L'inégalité de Garding répond à la question du lien entre la positivité de la fonction a et la positivité de l'opérateur associé. Nous
démontrons ici une version faible de l'inégalité de Garding.
Proposition 4.4. Soit a E C8°(JR 2 d) tel que a ~ O. Alors, pour tout
ô > 0, il existe C0 > 0 tel que pour tout f E L 2 (Rd),
(!, Opli(a)f} ~ -(ô + Colï 2 )11Jlli2cntd)1 V f E L 2 (Rd).