OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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Par ailleurs, on a associé à ces trajectoires l'opérateur de Liouville 2t
défini par
Va E C 00 (R 2 d), 2ta =a o et dont l'évolution infinitésimale vérifie
(25)
d
dt (2ta) = {H,2ta},
où le crochet de Poisson { •, •} a été défini dans (17).
Le théorème d'Egorov décrit la conjugaison d'un opérateur pseudodifférentiel semi-classique par le propagateur de Schrôdinger. Il relie
ainsi l'évolution quantique (le propagateur de Schrôdinger) à des
quantités classiques (l'opérateur de Liouville) et ce lien est fait à la
limite fi -+ 0, appelée « limite semi-classique ». Nous sommes donc au
cœur de l'approximation semi-classique qui nous permet de retrouver
des équations de la mécanique classique en partant de la mécanique
quantique.
Théorème 4.2. Soit a E Cif(R 2 d). Pour tout t ER on a l'égalité dans
2(L2(R_d)),
U(-t) o Opli(a) o U(t) = Opn(2ta) + O(!i 2 ltl).
Démonstration. On définit pour s E [O, t], t > 0, l'opérateur
An(s) = U(-s)Opn(2t-sa)U(s).
On a donc
An(O) = Opn(2ta) et An(t) = U(-t) o Opli(a) o U(t).
En utilisant (23) et (25), on écrit
!Ar,,(s) = U(-s)C~ [Opn(2t-sa),Opr,,(H)]-Opn({H,2t-sa})U(s).
Compte tenu du calcul symbolique
[Opn(2t-sa), Opr,,(H)] = ~Opr,, ( {2t-8 a, H} + O(!i 3 ),
i
d'où
d
2
dsAn(s) = O(fi ),
ce qui donne le résultat après intégration entre s = 0 et s = t.
D
Ce théorème permet de décrire la transformée de Wigner au
temps t d'une famille de solutions de l'équation de Schrôdinger (22).