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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
voit que l'on peut réaliser cela à l'ordre que l'on veut. On a donc des
formules asymptotiques à tout ordre.
Le calcul symbolique a de nombreuses applications. Dans les paragraphes suivants nous en décrivons quelques-unes.
4.2. Application 1 : l'approximation semi-classique et le
théorème d 'Egorov
Venons-en à l'équation de Schrôdinger qui décrit l'évolution au
cours du temps d'une fonction d'onde .,Pf:
( )
• ~ li
h 2 A li
( ) li
22
ifiut'l/Jt = -2u.'l/Jt +V X 'l/Jt,
avec une donnée initiale ' l/JS. Rappelons que la fonction
1
H(x,Ç) = 2 11Çl l 2 + V(x)
est appelée le hamiltonien de l'équation. En mettant des hypothèses
précises sur V, par exemple en supposant que V est un potentiel 0 00 à
croissance au phis quadratique lorsque llxll tend vers l'infini, on peut
démontrer l'existence d'une unique solution t i---+ .,Pf associée à la
donnée ' l/JS E L 2 (Rd), et qui est alors une fonction continue du temps
à valeurs dans L 2 (Rd). Une façon d'exprimer ce résultat consiste à
démontrer que, sous ces hypothèses sur le potentiel, l'opérateur non
borné Opli(H) est auto-adjoint et à définir son propagateur U(t) grâce
au théorème spectral qui sera évoqué dans la section suivante. Soit
U(t) = e-ijOp11 (H),
l'opérateur U(t) est unitaire et vérifie
(23)
ifi ! U(t) = Opli(H)U(t) = U(t)Opli(H), U(O) =Id.
La solution de (22) est donc donnée par .,Pf = U(t)'l/J8.
Nous avons aussi vu au paragraphe 1.1 du texte de Frédéric Faure
(ce volume) comment on associe au symbole H(x,Ç) des quantités
« classiques » telles que les trajectoires hamiltoniennes
(24)
où
t(X, Ç) = (x(t), Ç(t))
{
x(t) = Ç(t),
x(O) = x,
~(t) = -VV(x(t)), Ç(O) = Ç.